SÉANCE DU l4 SEPTEMBRE 1908. 49^ 



GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur la quadrique de Lie. 

 Note de M. A. Democlix. 



Consei'vant toutes les notations de notre Note du 24 août 1908, désignons 

 par (Ma) et (Mp) les asymptotiques a = const. et fi = const. qui se croisent 

 en M, et par /' et / leurs tangentes en ce point. 



Lorsque M décrit (M„), la tangente t engendre une surface réglée (1). 

 Lorsque M décrit ( Mp), la tangente t' engendre une surface réglée (S'). 



Soient n le plan asymptote de (2) relatif à la génératrice / et d la carac- 

 téristique que ce plan admet lorsque t engendre (S); les droites d et t sont 

 parallèles. Soient H' le plan asymptote de (S') relatif à la génératrice /' et d' 

 la caractéristique que ce plan admet lorsque t' engendre (1); les droites d' 

 et t' sont parallèles. 



La droite tu d'intersection des plans H et II' est parallèle au vecteur 

 (ar'âp, râp» ^«3) (' ) et à la normale, en I, à la surface (I). 



La demi-quadrique (Q) osculatrice à (1) suivant t et la demi-quadrique 

 (Q') osculatrice à (I') suivant l' appartiennent à une même quadrique (L) 

 (Sophus Lie). Les droites d et d' se coupent sur m au centre C de cette 



quadrique. Le segment MC est égal à -, s désignant la longueur du vec- 

 teur (^'âp,ya|3îs'âp)- Si l'on désigne par — P^ le produit des carrés des 

 demi-axes de la quadrique de Lie, on peut écrire yP ^^ t* 



Les développables de la congruence engendrée par la droite m ont pour 

 équation différentielle rdyJ- — r'd'^'- — o. Si rr est ^o, elles découpent 

 sur (M) un réseau conjugué. 



Les foyers $ et $'de la droite m divisent harmoniquement le segment MC 

 et Ton a 



MO.M4)'=^MC\ 



si l'on désigne par ttr, la distance de l'origine au plan tangent à la surface (I) 

 et par — A^" la courbure totale de cette surface. 



Pour que la quadrique de Lie soit un paraljoloïde, il faut et il suffit que 



(') Celte propriété apparlienl à tous les réseaux. On déduit de là que, si k 

 est jz^o, les surfaces telles que (i) et (i'), relatives au réseau («, p) tracé sur la 

 surface (I), ont pour développables asymptotes des cônes dont les sommets sont à 

 l'origine. La détermination des surfaces qui ont pour indicatrice de leur courbure 

 totale une surface donnée revient à la détermination, sur celte surface, des réseaux, 

 ouiàsant de la propriété indiquée. 



