SÉANCE DU I( SEPTEMBRE 1908. 49:") 



surfaces, les lignes asymptotiques se correspondent et les tangentes, en M,, 

 aux lignes a = const.. (3 =: const., sont respectivement les droites g\, g^. 

 On conclut de là que les deux surfaces ont ni'hnes quadriques de Lie. 



Le centre C de la quadrique de Lie décrit, en général, une surface. Le 

 plan tangent, 'en C, à cette surface passe par les milieux T, T' des seg- 

 ments F,Fo, F, F!,, et les droites CT, C'T' sont respectivement tangentes, 

 en C, aux courbes a ^ const., ^ =^ const. 



Pour que les plans tangents en C et en M soient parallèles, il faut et il 

 suffit que le produit des axes de la quadrique de Lie soit constant ou encore 

 que, sur les surfaces (2) et les surfaces (-'), une des branches de la ligne 

 flecnodale soit à l'infini. 



Le point C ne décrit une courbe que dans le cas où la surface (M) est 

 réglée. 



Enfin, le point (] peut cire fixe, à distance finie ou infinie. Le cas où il 

 est à l'infini a été examiné plus haut. S'il est à distance finie, prenons-le 

 comme origine des coordonnées; alors le vecteur (a?'aq,jK|j^, z^,^^ est parallèle 

 au vecteur ('^,y,s) et, en tenant compte de la propriété de l'équation (5) 

 de notre Note du 24 août 1908, on trouve xs\^\ = const. Réciproquement, 

 si nrv'X = const., le point C e^t en O. En effet, en vertu de la propriété qui 

 vient d'être invoquée, les vecteurs (^apija?) ^â^)» i^'^yi^-) sont parallèles 

 et, par suite, MC passe par le point O. Ce point étant fixe appartient néces- 

 sairement aux caractéristiques f/eti'/' des plans II et II', et, dès lors, le point C 

 coïncide avec le point O. 



M. Tzitzéica a étudié récemment {Comptes rendus, 1907 et 1908 ) les sur- 

 faces pour lesquelles îûy'À =^ const. Je les désignerai par la lettre T. Avec 

 cette notation, les résultats que nous venons d'établir peuvent être formulés 

 comme il suit : Pour qu'une surface soit T, relativement à un point O, il faut 

 et il suffit que ses quculriques de Lie aient pour centres le point O. Ce théorème 

 s'applique à toutes les surfaces, réglées ou non ; mais, dans le cas des surfaces 

 réglées, il prend cette forme plus simple : Pour qu'une surface réglée soit T, 

 relativement à un point O, il faut et il suffit que ses quadriques osculalrices 

 cdent pour centre le point O ('). On déduit immédialemeiiL de là que les 



(') Dans notre Noie du 29 juin 1908, nous avons établi le théoièine suivant : Pour 

 c/iie les deux branches de la ligne flecnodale d'une surface réglée soient ci t' infini, 

 il faut et il suffit que ses quadric/ues osculalrices aient même centre. En rappio- 

 cliant ce théorème et le lliéoréme énoncé dans le texte, on obtient )a propriété caracté- 

 lislique des surfaces T réglées que M. Tzitzéica a fait connaître dans sa Note du 9 dé- 

 cembre 1907. 



