SÉANCE DU 21 SEPTEMBRE 1908. SoQ 



On peut encore donner de T et de T, les expressions suivantes : 

 (■9) T^=-rr xi—' ^i = 



hk dp, '~ bk dp. 



Les expressions que nous avons ainsi obtenues pour H, H, , H, vont nous 

 permettre de résoudre la seconde question que nous avions en vue, à savoir 

 la détermination des systèmes triples qui comprennent une famille de sur- 

 faces à lignes de courbure planes dans les deux systèmes. 



En faisant usage d'une proposition ([ue j'ai établie au n" 1060 de mes 

 Leçons sur la tliéorie générale des surfaces, il est aisé de démontrer qu'ils ont 

 tous même re[)résentation sphérique qu'un système comprenant une famille 

 de cyclides; de sorte que nous sommes ramenés simplement à résoudre le 

 problème de la représentation spbérique pour les systèmes triples ortliogo- 

 naux que nous venons de déterminer. 



Rappelons d'abord l'une des méthodes générales que l'on peut suivre 

 pour résoudre le problème de la représentation sphérique. 



Supposons que l'on connaisse dans un système tiiple les expressions de 

 X, j', s en fonction de p, p,, po. Ces coordonnées satisfont, comme on sait, 

 aux trois équations linéaires suivantes : 



I d., u 



(20) 



dpi dp, 

 d'-u 



dp dp, 

 d,u 



do do. 



Si 9 est la solution la plus générale de ce système, le système triple le plus 

 général ayant même représentation sphérique que le proposé sera défini par 

 Içs équations 



(21) 



où X, Y, Z désignent les coordonnées courantes et qui, prises isolément, 

 représentent les plans tangents aux nouvelles surfaces coordonnées. Ainsi 

 tout se ramène à l'intégration du système (20). 



Si l'on applique cette méthode au cas actuel, en prenant les valeurs de H, 

 H,, Hj définies par les équations (16) et (18), on sera conduit à faire la 



