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l'angle I'oiiik'; [laf celle direction /■ avec la noiinale inléiieure. On a évi- 

 demment 



i''— r,— — Trp,., 



i'^ désignant la valeni" de c en un point * de F, et {>' la valeiii' limite extérieure 

 de V en ce point. De là se tiiv l'éqnalion fonctionnelle donnant p; elle peut 

 s'écrire 



C(>^ (/■,«) f/ff ^ fonction donnée. 



I /• (lu 



C'est une équation de Fredholm; on n'est pas dans nu cas singulier (' ), 

 et pour sa résolution en'eclive on pourrait utiliser une remanpie analogue 

 à celle que nous avons faite dans la note dn n" 1. La fonction ('(ir,y) (pie 

 nous venons de trouver est pour le point (^r, >-j s'éloignanl iudéliniment de 

 l'ordre de 



£_!! 



en désignant par K la distance du [)oint (f, y) à un point fixe du plan, l'ori- 

 gine par exemple; cela résulte de la propriété rappelée plus liant de la fonc- 

 tion «('■). 



fl est maintenant évident (juc; l'expression ((>) s'annule à l'iidini, de 

 quelque manière que {x,y) s'éloigne indéfiniment. Nous avons donc trouvé 

 une solution de l'écpiation initiale, prenant les valeurs données sur T, et 

 s'ainudanl à rinlini. La tiujon dont s'annule varie avec la direction suivie 

 par (a-, v) en s'éloignant indéfiniment. Nous nous en rendons compte très 

 aisément sur cet exemple simple; dans d'autres problèmes de même nature, 

 où figurent des singularités essentielles, on pourra rencontrer, à cet égard, 

 de sérieuses difficultés. 



(') l'oLii l'i'laljlir, il suflil de leniaïqiier «jue, dans ie cas conUaiie, on pourrait 

 trouver un poleiuiel (7) de double couche, à densité p non nulle, pour lequel la 

 valeur limite evtérieure r' sur la courbe F serait nulle. 11 est clair qu'alors c serait par- 

 tout nul à l'extérieur. Donc, à cause de la continuité des dérivées normales pour le 

 passage [lar la courbe, on aurait sur la courbe l" pour l'intérieur 



dn 



Or, une intégrale de (:">), délinie à l'intérieur de l", et pour hniuelle celle condition 

 est vérifiée, est iilentiquenient nulle. Les limites intéiiture et extérieure de 1' sur la 

 courbe F étant nulles, la densité p est nécessaiiemenl égale à zéro, ce (|ui est coiUra- 

 dictoire avec riiypotlièse faite. 



