SÉANCE DU 2.S SEPTEMBRE 1908. 565 



traires k. La valeur géïK'-ralc' de Hj. s'écril alors, en clianyeanl léyèremcnl 

 nos notations, 



/ \\ , \, + X, + ...+ X„\ 



Les ^n fonctions X,, Yj, Z/^ ao/*/ mninlctiant carnplêlemetil arbitraires, 

 < )n aura ensuite 



(8) 



,->ik — 



Z, Y,+ ¥,-+-.. 



GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Nw (juelqucs propriétés des surfaces courbes. 



Note de M. A. 1>e.>ioui.i\. 



Le tliéorème de Sophus Lie, que nous avons invo(|ué dans notre Noté du 

 14 septembre 19118, a été énoncé, sans démonstration, par l'illustre géo- 

 mètre, en 1882, dans les ForhdnUinger de Christiania. Nous l'avons établi 

 par deux méthodes différentes (jne nous allons indiquer rapidement. 



PiîEMiKRE MÉTHODE. — Elle cousiste à prouvcr que les deux systèmes 

 linéaires à trois termes de complexes linéaires qui lenfermeul respective- 

 ment les denii-quadriques (Q) et (Q') sont en involutlon. 



Df.l'xikme méthode. — La surface (1) étant définie par les équations 



,- ôx .. dy r-, 0: 



\ = x-t-p-— , 1=7 + 0-7-, Z=;-t-p-r-, 



l'équation différentielle de ses asymptotiques est dp = -^d'^. On déduit de 



là l'équation du lieu des tangentes asymptotiques de (2) relatives aux diffé- 

 rents points de /. Si l'on prend comme axés dés X, des \ et dés Z les 

 droites /, t' et /n, cette équation est 



(0 4I = ^ + Àz% 



V i:g « ■^^- 



\ E et \G désignant les longueurs des vecteurs (x^,y^, z!,), (x'^,y^, z^). 



En procédant de même à l'égard de la surface (S), on constate que, rap- 

 porté aux mêmes axes, le lieu des tangentes asymptotiques de cette surface 

 relatives aux différents points de /' est également défini par l'équation (l). 



