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Le ihéorènie rie ]Àc est dès lors déinontré cl Ton ol)lieii(, en niitrc, Téciua- 

 tion de la qiiadriqiie de Lie sous une forme reinarquablenient simple. 



\oiis avons formé aussi l'équation de la quadrique de Lie en la rappor- 

 tant au trièdre dont les arêtes sont les tangentes M.r, M y aux lignes de 

 courbure v = const., u = const. qui se croisent en M, et la normale M:; en 

 ce point. Dans les formules qui vont suivre, nous conserverons toutes les 

 notations de M. Darboux {Le(,ons, IP Partie ). 



L'équation générale des quadriques (jui renferment les tangentes / et /' 

 est 



(2) .r' sin-r,i — J- cos-o) -+- a ;'-(- 2 b.rz -y- ■>.cy:- + 3 (h = o. 



Si Ton pose 



I dRR' I <^RR' , RR' 



b=-7-r. TTT -:-^y c--r-rr rrr tt-t-^ rf = 



4(R — IV)Af^/ 4(R-K')C(;.- R — K 



et qu'on laissea arbitraire, récpialion (2) délinil une inliuité simple de ([ua- 

 driques qui se raccordent aux surfaces (S) et (S) suivant les génératrices t 

 et /'. Leurs centres sont distribués sur la droite 



j:sin-w ycos-w 



Parmi ces quadriques se trouve la quadrique de Lie; elle correspond à 

 la valeur suivante de « (') : 



b''- 



a : 



sin'w cos'w 



RR' r/j_ _i_\ / b^ 

 2(K — H') L\R "^ W) \sin-f.) 



siiif.i \ 1) i( \'!>\u '•\ ) coso) C (^i' \cosfj>/ J 

 Si Fou applique au théorème de Lie la transformation de Lie, qui change 



(') Des valeurs de /' el de c, on déduit ces lliéoii^ines : 



Pour que le centre de la quadrique de Lie relative à un point quelconque M d'une 

 surface soit situé dans un plan principal, le plan xMz, par exemple, il faut el il 

 siifjit que les lignes d'égale courbure totale soient les lignes «^consl.; alors la 

 quadrique est symétrique par rapport au plan .c M :. 



Pour que la quadrique de Lie relatii'e à un point quelconque M d'unr surface 

 admette ce point comme sommet, il faut et il suffit que la courbure totale de 

 cette surface soit constante : alors la i/uadrique est symétrique par rapport aux 

 plans xM:, jM;. 



