SÉANCE nu 28 SEPTEMBRE irjoS. .)(i- 



les (Iroilos en sphères, on obtienL de nouvelles iiio|)rié|(''s des surfaces; nous 

 allons les exposer ainsi que d'autres qui ne résultent pas dudit théorème. 



Soient, en un point M d'une surface (M) rapportée au réseau (//, c) de 

 ses lignes de courbure, C et C les centres de courbure principaux, C corres- 

 pondant à la ligne de courbure (M,,) et C à la ligne de courbure (M„) (' ). 

 Si M décrit (M,,), C décrit une courbe (C|.) dont la tangente coupe la tan- 

 gente à ( M,.) au centre de courbure géodésique G' de (M„). Si M décrit ( M„), 

 C décrit une courbe (('„) dont la tangente rencontre la tangente à ( M„) au 

 centre de courbure géodé-siquc G de (M,,). Soient co et to' les plans oscula- 

 teurs des courbes (C„) et (G^,) aux points C et C', et d leur droite d'inter- 

 section. Ces plans sont rectangulaires et les tangentes en G et G' aux courbes 

 (G„) et (G[,) sont respectivement situées dans les plans co et to' et perpendicu- 

 laires aux plans co' et co. Il existe, dans le plan co, une coni([ue (F) symé- 

 trique par rapport à d, passant par le point C et admettant, en ce point, 

 même centre de courbure (pie ((^„), et, dans le plan co', une coni(p]e(r') 

 symétritjue par rapport à c/, passant par le point C et admettant, en ce 

 point, même centre de courbure que iC[,). Les coniques (F) et (F) sont 

 focales l'une de l'autie. 



Ces propriétés appartiennent à toutes les surfaces, sauf aux suivantes, pour 

 lesquelles les plans co et co' sont indéterminés ou confondus : i" les surfaces 

 de Monge, dont les lignes de courbure d'un système sont des géodésiques; 

 2° les surfaces développables; 3" les sphères et les plans; V les surfaces 

 réglées à génératrices rectilignes isotropes. Toutefois, pour les surfaces de 

 Monge, on peut énoncer ce théorème, limite du précédent : Si les lignes (M„) 

 sont des géodésiques, la ligne (C„) est une droite (F) qui coïncide avec l'axe 

 du cercle osculateur (F') delà ligne (C[,). 



Dans le cas général, il existe une cvclide de Dupin dont les normales 

 s'appuient sur (F) et (F') et qui touche en M la surface (M)(-). Les droites 

 par lesquelles passent les plans de ses lignes de courbure sont les tangentes en 

 G et G' aux lignes (G„) et (<■;,). Celte cyclide est conservée dans l'inversion. 



Une congruence quelcon([ue étant donnée, il est clair qu'en général on 

 peut attacher à toute droite a de cette congruence deux coniques (F) et (F') 



(') D'une manière générale, si les couidonnées friin point V sont fondions de deux 

 paramétres u et c, nous désignons par (l'„) et (Fj,) les courbes de paramétres u et i' 

 décrites par ce j)oint. 



(^) Dans le cas des surfaces de Monge, les coniques (F) et (F') se réduisent à la 

 droite (F) et au cercle (F), et la cyclide se réduit à un tore de révolution. 



