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irrégiilières d'une équalioii difTérenlielle (/Ic/a wa//(e/??rt/icf/, t. VIII, p. 9,r)5 ) 

 on peut démontrer qu'il existe A intégrales, linéairement indépendantes, de 

 la forme suivante 



(/= 1,2, ...,/,). 



Malheureusement, ces séries de factorielles sont généralement divergentes, 

 mais elles représentent l'intégrale asymptotiquement. Les intégrales se 

 comportent donc asymptotiquement comme 



où Ci, u.,, rt,, [i, sont des constantes indépendantes de n. 



Considérons maintenant la fraction continue (2) et aussi la suivante 



K,= U,(/-)U,(/--;0-U2(r)U, (/•-«) 



U , ( /• -H I ) II, ( /■ — /O - U, ( /• -h I ) U , ( /■ - « ) 



P(,-0-^ ^-'^ 



P(,-.)^- QC-^) 



P(/'-3)-. 



■.P{r~,>), 



et supposons (pic P(n ) et Q(«) soient des fonctions rationnelles de n mais 

 des fonctions arbitraires d'un paramètre x qui est, par conséquent, la 

 variable entrant dans les fractions continues. Nous pouvons alors choisir 

 U,(«) et Un(«) telles que, pour des valeurs très grandes positives et néga- 

 tives de n, elles se comportent respectivement comme 



u.i et [X., sont deux nombres qui se déterminonl par les degrés des polynômes 

 numérateurs et déjioiuinateurs dans P{7i) et <>>(«), tandis que a,, a.,, jï, 

 et po sont des fonctions de la variable x. Faisons maintenant croître n 

 vers ce dansK, et Kj et étudions la convergence. Si izi^a^, K, tendra 

 vers Ll, (/•-!- i) : Uo(/-) cl Ivo vers U,(/-) : U, (/•-!- i) dans tout le plan. 

 Au contraire, si jx, = [i.^, K, tendra vers U,(/--|- 1 ) : U,(/-) ou vers 

 Uo(/ •+ I ) : Uo(r) suivant que |a, : rto [ sera plus petit ou plus grand que 

 un. Ainsi la valeur de la fraction continue saute sur certaines courbes qui 

 se déterminent par l'équation |«,| = |a2|. Quant à K^, il tend vers la 

 valeur réciproque des susdites fondions et se comporte d'ailleurs de la même 



