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La droite g a le point ( ï en commun avec le plan co ; or elle est parallèle 

 à ce plan comme étant perpendiculaire à w' ; donc g est dans w. De même, 

 g' est dans w'. 



En réunissant tous ces résultats, on obtient la première partie du théorème : 



Les plans co et co' sonl reclangulaires , et les tangentes aux courbes (/»'„) 

 et (G|,) sont respectivement situées dans les plans w et co' et perpendiculaires 

 aux plans w' et oj. 



Par la droite CG, menons un plan quelconque ti et, par la droite C'G', 

 un plan -' perpendiculaire au premier. Désignons par i l'intersection de 

 ces deux plans. Soient (F) la trace sur -n: du ^cône isotrope de sommet C 

 et (F') la trace sur ti' du cône isotrope de sommet C. Il existe, dans ir, une 

 conique (K.) tangente en G à CG, symétrique par rapport à «et bitangente 

 au cercle ( F), et, dans 71', une conique (K') tangente en C à C'G', symé- 

 trique par rapport à i et bitangente au cercle (F'). Les coniques (JL) et ( K') 

 sonl focales l'une de l'autre. Déterminons en efl'et la focale de (K.) qui est 

 située dans le plan -'. Cette conique, que nous désignerons par (K"), admet i 

 comme axe de symétrie, est bitangente à (F') et passe par C Soit C'T' sa 

 tangente en ce point. En vertu d'une propriété des coniques focales, les 

 plans CC'T' et C'CG sont rectangulaires ; or les plans CC'G' et C'CG sont 

 également rectangulaires ; donc les plans CC'T' et CC'G' coïncident, et il 

 en est de même de leurs intersections C'T' et C'G' avec le plan u'. La 

 conique ( K " ) est dès lors définie par les mêmes éléments que la conique (K') 

 et coïncide par suite avec elle. Les coniques (K) et(K-') sont donc bien 

 focales l'une de l'autre. 



Complétons à présent les notations de notre précédente Note. Soient M*', 

 M.y les tangentes aux lignes de courbure (M^), (M„), et M^ la normale à la 

 surface (M). Désignons par (C) et (C) les nappes de la développée de (M) 

 décrites par les points C et C/. Soient CN et C'N' les perpendiculaires à Mz 

 respectivement situées dans les plans x^tïz et jMz. Ces droites coupent 

 respectivement C'G' et CG en des points A et A' dont les projections sur 

 le plan xM.y seront désignées par B et B'. 



Soit (S)la cyclide de Dupin dont les normales s'appuient sur (K)et(K.') 

 et qui^touche en M la surface (M). Pour celte cyclide comme pour la sur- 

 face (M), les droites CG, C'G' sont les axes de courbure des lignes de cour- 

 bure qui passent par M. Désignons par (K^) et (K^) les projections des 

 coniques (K) et (K') sur le plana;Mj'. Ces couches constituent les contours 

 apparents des deux nappes de la développée de la cyclide (2) projetées sur 



