SÉANCE DU 19 OCTOBRE 1908. 671 



le plan xMv^ donc, en veitu d'un théorème dû à M. Mannheim (Comptes 

 rendus, 7 décembre 1874) (' ), les centres de courbure des coniques (K^) 

 et ( K^) en M sont les points B et B' (^). 



, Faisons coïncider les plans t., -' respectivement avec les plans w, co' et 

 désignons par (K,,), (K^) les coniques (K), (K') qui correspondent à cette 

 position particulière des plans tc, -k'. Nous allons démontrer que ces coniques 

 ne sont autres que les coniques (F) et (F). 



Envisageons le cylindre circonscrit à (C) dont les génératrices sont paral- 

 lèles à M:; et la normalie développable dont (M„) est la directrice. La nor- 

 malic touche (G) suivant (C„), et la courbe de contact du cylindre et de (C) 

 est tangente en C à (C„) ('). Coupons le cylindre par le plan osculateur o) 

 de (C„) ; la section plane (P) ainsiobteniie et la courbe (Cu) auront en C même 

 centre de courbure. En effet, comme l'a fait observer M. Mannheim (/oc. cit.), 

 la normalie et le cylindre ont en C un contact du second ordre. 



La courbe (P) et la conique (K„) sont situées dans le même plan et sont 

 tangentes en C. Elles ont en ce point un contact du second ordre. Pour le 

 démontrer, il suffira de prouver que leurs projections sur le plan x M y ont 

 en M même centre de courbure. Or la projection de la courbe (P) est 

 le contour apparent de la nappe (C);donc, en vertu du théorème de 

 M. Mannheim, rappelé ci-dessus, son centre de courbure en M est le point B. 



C) Ce théorème est le sui\ant: Les contours apparents des nappes (C) et (C) de 

 la développée d'une surface (M), projetées sur le plan tangent en iM, ont pour 

 centres de courbure en ce point les points B et B'. M. Mannheim paraît avoir eu en vue 

 le cas général, celui où les nappes (C) et (C) sont des surfaces ; mais, si l'on définit 

 les points B et B' comme nous l'avons fait, le théorème et sa démonstration s'appliquent 

 aussi aux pérJsphères et à la cyclide deDupin. 



(■-) On peut déduire de là une construction des centres de courbure des coniques ( K) 

 et (k') en C et C. Occupons-nous, par exemple, de la conique (K ). Soit ( H) le cylindre 

 qui la projette en (K^) sur .rHj. La section droite de ce cylindre qui passe par le 

 point C a pour centre de courbure en ce point le point A. En vertu du théorème d'Euler, 

 la section du cvlindre (H) par le plan GCN a pour centre de courbure en C un point P 

 situé sur CN et défini par l'égalité CPcos'-CGM =r CA. (Pour construire le point P, il 

 suffit de porter sur Mx un segment MGi égal à MG ; la perpendiculaire à CG, menée 

 par le point d'intersection de cette droite et de AB coupe CN' au point P.) Enfin, en 

 vertu du théorème de Meusnier, le centre de courbure de la conique (Iv) sera la pro- 

 jection du jioint P sur le plan tï. 



(^) Pour la brièveté du discours, on a supposé que (C) était une surface, mais le 

 raisonnement qui va suivre s'applique aussi au cas où (C) serait une courbe. 



