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Et d'autre part, d'après ce qu'on a vu plus haut, le centre de courbure en M 

 de la projection de la conique (Kj) est également le point B. 



Les courbes (C„) et (K„) ayant en C mc'Mne centre de courbure que la 

 courbe (P) ont même centre de courbure en ce point. On démontrera de 

 même que les courbes (C,,) et (K'„) ont même centre de courbure en G'. 



11 esl clair mainlenant que les coniques (KJ et (Ko) coïncident respectivement avec 

 les coniques (f) et (F'). Gomme elles sont focales l'une de l'autre, la seconde partie 

 du théorème est démontrée. 



Tous les résultats précédents sont confirmés, par le calcul; faute de place, nous ne 

 pouvons le montrer ici. Toutefois, nous définirons analytiquement les directions des 

 plans &) et 0)'. Si l'on prend comme Irièdie de référence mobile le Irièdre lla:yz el 

 qu'on conserve toutes les notations de M. Darboux (Leçons, II" Partie), on trouve que 

 les normales à ces plans ont pour paramèlies directeurs 



Or, 



du V r 



9 Pi 1 /'i 



Dans ces expressions ne fleurent nue les quatre quantités -, — , , ; celles-ci 



' ^ ' ' ' '7 P^ <lPx 'JPx 



s'expriment comme il suit en fonction des rayons de courbure principaux H, R' et de 

 leurs dérivées par rapport aux arcs des lignes de courbure : 



/■ _ H' ôl\ r, _ R dl\' 



q R'— R dçj l>i 



np, [W-ny- ^ ds, 

 (0 < 



j ^ R■Y^^' 



/ dv _ \dsj ^ ^^,d_ 



,jp, - (K'-R)= ds, 



On voit que les directions des plans (,1 el 0/ dépendent des éléments du quatrième 

 ordre de la surface (M). 



L'ortliogonalité de ces plans résulte de la formule de Codazzi 



dr dr, 



à;'~-d^=-'^'''- 



En remplaçant dans cette formule -- et — -!• par leurs valeurs tirées des relations (i), 

 ' * di' du 



on obtient une propriété générale des surfaces. 



