SÉANCE DU 2 NOVEMBRE 1908. 788 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la râleur de l'im'ciriant p pour une classe 

 de surfaces algébriques. Note de M. L. 14emy, présentée par M. Emile 

 Picard. 



Cette Note a pour objet la détermination de l'invariant relatif p de 

 M. Picard (') pour les surfaces S dont les points admettent une correspon- 

 dance univoque, sans point fondamental ni courbe exceptionnelle, avec les 

 couples de points (a;, j), (a;', j') d'une courbe algébrique C, d'équation 



Considérons sur la surface S les deux courbes particulières J et L„ qui 

 correspondent, la première aux couples de C formés de deux points 

 confondus, et la seconde aux couples formés d'un point variable et d'un 

 point ^\\ç^ (a?o, jo), et montrons d'abord qu'il ne saurait exister d'intégrale 

 de différentielle totale de la forme 



/' 



H ( ci-, y \ .»',/') f/cT -)- S ( j:", y ; x' , y' ) dx' , 



ayant seulement J et L^ pour courbes logaritbmiques. 



Les périodes de l'intégrale jlidx ne doivent pas dépendre du para- 

 mètre a-'; en particulier, le résidu relatif au point logarithmique (x=:x', 

 y^^y) est une constante qu'on peut supposer égale à -h i. Ceci posé, envi- 

 sageons la surface de Riemann qui correspond à l'équation algébrique 

 /(x,y) = o, supposé de genre /j (non nul) : on sait qu'on peut faire en sorte 

 que les deux premiers feuillets de cette surface soient réunis par (p-h i) 



lignes de croisement aa', bb' , Traçons sur le premier feuillet un cycle y 



enveloppant les deux points de ramilicalion a et a', et donnons au point 

 (x',y) une position voisine du point a, mais extérieure au cycle y. Si l'on 

 fait tourner le point (a;', y') autour du point b sans rencontrer le cycle y, le 

 paramètre j' prend une autre détermination v", sans que d'ailleurs le cycle y 

 soit altéré ; on en conclut, en désignant respectivement par cd' et w" les 



valeurs de l'intégrale / Rdj- pour les déterminations y' et y' du paramètre, 



(') Théorie des fonctions algébriques de deux variables, l. II, cliap. IX. 



