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Si d'aulre part on fait tourner le point (.r', /) autour du point a, y' se 

 change de même en y", mais le cycle y se déforme, fuyant en quelque sorte 

 devant le point (.r, j), et prend une position y'; de là on déduit aisément 

 la relation 



Crj' ^ 6j" — 2 71 i. 



Dès lors l'intégrale dont nous avions admis l'existence ne saurait exister. 



Eu second lieu, considérons une courbe irréductible quelconque F de la 

 surface S : elle définit une correspondance algébrique entre les points (.r, y) 

 et (.!•', y') de la courbe fondamentale C. On doit à Hurwitz une étude de 

 ces correspondances (') dans laquelle est établi le résultat suivant, qui est 

 fondamental pour notre objet: « Étant donnée une correspondance quel- 

 concpie enlre les points {x^y) et (.r, y'), on peut former une fonction ra- 

 tionnelle 1' {x, y\ x^y) qui n'admette comme lignes de zéros ou d'infinis, 

 en dehors de la correspondance considérée, que la correspondance x = x', 

 j= y', ainsi que les correspondances associant respectivement à un point 

 variable certains points fixes (x,, y,), . . ., (a;^, y/,). » Ce résultat suppose 

 toutefois que la courbe /(a?, y) = o n'est pas une courbe singulière. 



Il résulte du théorème précédent que l'expression 



I = LogP(j7, y; .r',y')-t-LogP(.r', j'; .x, y) 



est une intégrale de différentielle totale de la surface S ayant pour courbes 

 logarithmiques les courbes F, J, L,, ..., L^. D'autre part, si l'on désigne 



par / (î„, (r, y) r/.a7 l'intégrale normale de troisième espèce attachée à la 



courbe C et relative aux points (xg^y^) et (■ï',,,y/), il est manifeste que 

 l'intégrale 



I„, = fG„i X, y ) (Lv + G„,- ( x\ y ) d.r' 



a pour courbes logarithmiques Lo et L,. Dès lors il est possible de former 

 une combinaison linéaire des intégrales I et !„,, ..., I„;. qui n'admette pas, 

 en dehors de F, d'autres courbes logarilhiniqucs (pie les courbes .1 et L^. 



D'où cette conclusion : L'invariant relatif p est égal à deux pour les sur- 

 faces dont les points admettent une correspondance univoque, sans point 

 fondamental ni courbe exceptionnelle, avec les couples de points d'une courbe 

 algébrique non singulière, et non unicursale. 



(') Mathemalische Annalcn, t. XXVIII, p. 56 1. 



