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iiilégrales de ces équations, que les fonctions fuchsiennes et des comlunail- 

 sons de leurs dégénéi'escences ('). 



Supposons b{y) et c(y) exprimés par des fonctions rationnelles ^i(.y, z) 

 ctc,(y, z) de y et d'une nouvelle variable z définie par la relation algé- 

 brique 



(2) 



f{y,--)^o. 



On .sait choisir celte relation de telle sorte que runiformité de y entraîne 

 celle de z. Le point analytique (.y, s) étant une fonction uniforme de x^ 

 tout autre point (i',,^,) qui se déduit hiralionnellement du premier est, 

 aussi, une fonction uniforme de x et satisfait à une équation de la même 

 forme f{ue (i) où l'entier n a conservé la même valeur. Il suffira donc d'étu- 

 dier une seule équation de la classe à laquelle appartient (2). Je démontre 

 alors la proposition suivante : Si l'on a « = — 2, le coefficient b{y) doit 

 être nul; le genre/? de (2^ peut être quelconque et (juand l'intégrale de (i) 

 est uniforme, c'est une fonction /Mc/i«'e//«e ( ou kleinéenne) de genre p. Si n 

 est différer} l de — 2, p ne peut dépasser l'unité. Considérons d'abord le cas 

 OÙyO = I. 



Soient 



a— r(r,z)dy 



l'intégrale de première espèce attachée à (2) et co une de ses périodes. 

 L'équation (i) doit être de la forme 



(3) 



\r' et r" désignant les dérivées de /• par rapport à >', prises en tenant compte 



de (2)]. La constante /• doit être égale à o ou à ^-^- (^uant à a, c'est un 



entier positif dont le maxiinuni est 4 pour « ^ 1, ^î pour n = 2, 2 pour 

 /( = 1, 5, 30, qui est égal à l'unité pour toute autre valeur de n. iMifin, dans 



le cas // = 5, a =: 2, — doit être une période. L'intégration de ces équations 



(') liuU Soc. malh., t. \X\I1I; Acta muth.. l. XXV. l^'étiicle des équations (1) 

 se préseiue comme un proljlème préliniinaiie dans l'étude des équations du troisième 

 ordre à intégrale uniforme. 



