SÉANCE DU iG NOVEMBRE 1908. 917 



fist donnée par les fonnnles sui^anles : 



(4) ■>' = ^'ïïÏ7-'°^')' 



(5) A,r + B= r ^^-3^' (si/>?^o)i 



J (i + cr-')"-^' 



(6) r = cp[(Ax+B)«+'4-C] (siA- = o). 



<!ji(u) esL la fonclion elliptique définie par l'inversion de u; A, B, (] sont les 

 constantes d'intégration. Toutes ces équations se ramènent d'ailleurs à celles 

 qu'on obtient pour « = i. Soit, en effet, y l'intégrale d'une équation (3) 

 (où l'on a « :^ 1); il existe une transformation \ = F(y, r',y), où F ren- 

 ferme nécessairement y' ou r", et telle que Y satisfait à une équation (3) 

 linéaire en y"- 



Si /; = G, les équations cherchées se déduisent immédiatement des équa- 

 tions à coefficients rationnels par la transformation 



(7) J = P('^')> ;^^(V), 



où p et a- sont rationnelles en ^', et où Y satisfait à une équation à coefficients 

 rationnels. Nous sommes ainsi ramenés au problème qui fait l'objet de ma 

 Note précédente. Mais les équations cju'on rencontre se laissent classer 

 maintenant d'une façon plus précise. 



Un premier groupe de ces équations est formé par certaines des équations 

 précédentes attachées à des relations (2) de genre un; en effet, dans l'un des 

 cas suivants : a = 4> '* = i i ^c = 3, /? ^ 2 ; a = 2, « = co; a ^= i , // := — i>, 

 ainsi que pour k = o, on peut choisir la relation (2) de telle sorte que la va- 

 riable s ne figure pas dans les coefficients de l'équation (3), qui est alors 

 rationnelle en y. 



Un second groupe d'équations (i) à coefficients i-ationnels se déduit encore 

 de l'étude du cas où />» = i : ii suffit de faire dégénérer la relation (n) en une 

 relation rationnelle et d'effectuer la transformation (7). Toute équation (3) 

 donnera ainsi naissance à une équation à coefficients rationnels. Si l'on part 



d'une équation (3) avec X- Y^ o (ce qui exige que l'expression r(y,z)dy 



admette upe période après la dégénérescence j, la fonction j définie par (4) 



est rationnelle en ï; la simplifiée qu'elle vérifie se ramène donc à celle qui 

 est intégrée par la fonction t(x) de (5). On retrouve ainsi les équations 

 rencontrées dans ma Note précédente pour les valeurs remarquables de n : 

 en totalité, pour n = 3, 5, oo; en partie, pour n = i, 2. 



