SÉANCE DU 23 NOVEMBRE 1908. goS 



u. feuillets de la surface de Riemann coiTCspondant à l'équation (2) relatifs 

 à ces valeurs, et la position de chacun des u.([j. — i) points critiques voisins 

 de a dépendra d'une manière holoinorphe de y autour de -v- = b. Sur chacun 

 de ces feuillets on peut tracer des contours fermés 



C,, C2, . . . , Cjj. 



comprenant à leur intérieur les points critiques. En désignant par O,, Q^, 

 12;,, . . ., £2|j, les valeurs de I le long de ces cycles, on a évidemment 



Ceci posé, envisageons une période quelconque P de l'intégrale I. Dans 

 le cas où le cycle correspondant est tout entier en dehors des feuillets pré- 

 cédents, et dans le cas où il est entièrement situé dans ces feuillets, la pé- 

 riode sera fonction holomorphe de y autour de b. S'il en est autrement, 

 ce cycle entrera par exemple dans la portion S de la surface de Riemann 

 limitée par C, , C,, . • -, C^, en traversant C, en un point y,, et il en sortira 

 en traversant C^ en un point y^- 



Or, faisons maintenant tourner ^y autour de />, et demandons-nous ce que 

 devient la période P considérée en dernier lieu. On peut approximativement 

 concevoir que l'ensemble de la portion S tourne d'un bloc autour de «, et 

 il en résulte aisément que P se transforme en 



puisque la portion du cycle entre C, et Cg revient à sa position du début 

 et que, à partir d'une position quelconque, y, et y., doivent parcourir G, 

 et Cy dans des sens contraires pour revenir à leurs positions initiales. 



Il y a p. — I différences du type i2, — Q,; nous en concluons que toute 

 période P se transforme en P augmentée d'une somme de multiples de a — i 

 périodes particulières U, , LL, . . ., U^_, qu'on démontre être indépendantes. 

 En se reportant alors à la démonstration, fort longue d'ailleurs, qui nous 

 adonné la formule (i), on voit que, dans l'expression dep^, la part d'un 

 point multiple isolé d'ordre [j. sera 



fy. — I , 

 et nous pouvons alors écrire la formule que j'ai en vue : 



po = N + 2 ( rjL — I ) — 4/J — ( «( — I ) -t- 2 /■ — ( p ^ 1 ), 



OÙ la sommation s s'étend aux différents points multiples isolés de la surface, 

 Il représentant leur degré de multiplicité. 



