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pondances entre deux points d'une même courbe algébrique, et je suis par- 

 venu à la conclusion suivante, dans le cas où la courbe C n'est pas une 

 courbe singulière : Toute courbe algébrique de la surface S peut être repré- 

 sentée par une équation de la forme 



la fonction @(u, i', iv) restant toujours finie et i^érifiant les équations fonc- 

 lionnelles d'une fonction thêta sous la condition ~{u, v, iv) = o, et, d'autre 

 part, ne s annulant pas sur la surface en dehors de la courbe considérée, si 

 ce n'est peut-être le long de l'une ou l'autre de deux courbes déterminées. A 

 ce point de vue, il existe une difTérencc essentielle entre les surfaces S et 

 les surfaces hyperellipliques, car il est impossible de représenter indivi- 

 duellement chaque courbe algébrique d'une surface S par une équation de 

 la forme 



0( II, c, «■) = o, 



la fonction ne s'annulanl pas sur la surface en dehors de cette courbe. 



Le nombre p^ des intégrales doubles distinctes de seconde espèce des 

 surfaces S peut être déterminé à l'aide de la formule fondamentale de 

 M. Picard ( ' ) 



ûo = iN -h f/ — 4 /' — ( '" - I ) -H 2 /■ — ( p — I ). 



A cet effet, envisageons la surface définie on coordonnées homogènes par 

 les équations 



Xi=@,{i/, c, iv) {i=i, 2, 3', 4), 



2?(«, c, H') = o, 



où les fonctions 0, sont quatre fonctions thêta normales de caractéristique 

 nulle et d'ordre //, qu'on suppose ne s'annuler à la fois pour aucun système 

 de valeurs des arguments. L'invariant relatif p est égal à c^eair pour une telle 

 surface, en vertu d'un théorème que j'ai établi dans une précédente Note(-). 

 D'autre part, la représentation paramétrique de la surface permet de déter- 

 miner assez simplement les autres éléments de la formule : 



m = 6/1-, 



p = 3h(/i + i) -M, 



N =6(3A2+2A + 1). 



(') Tliéorie dea fondions algcbruiaes de deux variables, t. II, Chaji. XII. 

 (-) Comptes rendus, 2 novembre 1908. 



