SÉANCE DU 2 3 NOVEMBRE 1908. Ç)65 



tion de ces courbes dépend d'une équation différentielle de la forme 



du _ /( ( A « + 6 ) 

 ds C « -t- D 



où A, B, C, D sont des polynômes en :■ de degré deux au plus. 



GÉNÉrvÂiJSATioN. — Je me suis proposé de généraliser le problème précé- 

 dent, 671 nassujetlissant plus les courbes de chaque famille à être égales entre 

 elles, mais en supposant simplement que les courbes homologues des deux fa- 

 milles sont deux à deux égales. 



On peut traiter cette question comme la précédente; mais on arrive alors 

 à des systèmes d'équations aux dérivées partielles que je n'ai encore étudiés 

 que d'une façon i-apide, et qui semblent présenter de grandes difficultés 

 dans le cas général. 



Voici cependant quelques résultats particuliers. D'abord, il est impossible 

 de faire subir à une même surface plus d'une déformation ne déformant pas 

 une famille de lignes tracées sur la surface, sauf le cas de la flexion des sur- 

 faces réglées. 



De même, sauf le cas de la symétrie, on ne peut tnnwer aucune déforma- 

 tion pour aucune surface, qui ne déforme pas une famille de sections planes ou 

 une famille de lignes asymptotiques. 



De même, on ne peut déformer aucune surface de façon que les courbes 

 d'une famille subissent chacune une translation, à part des cas particuliers 

 évidents que je ne signale pas. 



Il y a encore d'autres propositions négatives du même genre. 



Pour terminer, j'indiquerai la solution particulière suivante du problème 

 que je me suis posé. 



Soit la surface S dont les coordonnées semi-polaires d'un point quel- 

 conque sont 



[ P =V7'(o.„H-r), 

 1 « = Il , 



i V /■(2H + (') 

 ( ==-T-^ i ' 



OÙ V est une fonction arbitraire de v et /une fonction arbitraire d'une va- 

 riable. Si à la courbe de paramétre r oti fait subir la translation Y parallèle 

 à Oz et la rotation v autour de Os, l'ensemble des courbes obtenues constitue 

 une surface S, répondant à la question. On peut remarquer aussi que les 

 courbes 2;< + ^ = const. sont symétriques l'une de l'autre par rapport à 



