SÉANCE DU 23 NOVEMBRE igoS. 967 



I. Les solutions du systcmc (i), de valeurs initiales comprises dans D, y 

 restent et sont toutes asvmptotiqucs à l'une d'elles 'et asy/nptofiques aux solu- 

 tions du système (2 ). 



Je dirai encore que la fonction /(/) admet asymptotiquement la période co 

 si, £ étant un nombre positif arl^itrairement petit, on a, dès que / dépasse 

 une certaine limite fonction de t, 



|/(' + '«'.j)-/(0|<s, 



quel que soit l'entier positif m. Dès lors, dans ( i) : 



I I . Quand les «„ sont périodiques ou asymptotiquement périodiques, de même 

 période co, les solutions de (i), de valeurs initiales co/nprises dans D, y restent, 

 et sont toutes asymptotiquement périodiques, de période co (et asymptotiques à 

 l'une d'elles). 



La propriété II est une conséquence de la propriété I quand on peut 

 reconnaître l'existence d'une solution périodique de (i) dans le domaine D. 

 On y réussit parfois grâce à un théorème déduit des méthodes de M. Poin- 

 caré et applicable même à des systèmes (i) où o„ ne serait plus forcément 

 fonction toujours décroissante de ^„(les autres conditions subsistant) : 



III. Si les a„ sont de la forme en-\- \i-fn{_i)i ou l^^ <?« -^^'^^ (^^'' constantes, 

 fn (t) des fonctions périodiques de même période co, et dont l'oscillation est 

 limitée, [jl un paramètre de valeur absolue assez petite, dans des cas étendus, le 

 système (i) admet en général une solution périodique de période co. 



Il en est ainsi quand les !p„ sont développables suivant les puissances 

 des 3j — Yy aux environs de la racine simple yi , . . . , y^ du système 



en+9«(yi, . . ., ■/«) =0. 



Systèmes de réservoirs. — Tous ces résultats s'appliquent à l'étude du 

 mouvement des eaux du système le plus général àa réservoirs de formes 

 quelconques dont la surface est libre, alimentés, au moins en partie, de l'ex- 

 térieur ('), et dont les exutoires (déversoirs, orilices de communication, 

 siplions constamment amorcés) ne sont noyés à aucun instant à l'aval, 

 quand on néglige Tintluence des canaux de communication et le temps que 



(') Dans les cas que j'ai étudiés antérieurement, il n'y avait pas eu général d'ali- 

 mentation extérieure, ou celle-ci était asyniplolic[uement permanente. 



C. R., 1908, 1' Semestre. (T. CXLVII, N° 21.) I26 



