SÉANCE DU 3<) NOVEMBRE 1908. 1087 



foyers des congruences formées parles tangentes MP,, MP., M'P,, M'Pj, 

 et distincts de M et M'. On trouve que T,, T', et F, d'un côté, T,, Tl, F, 

 de l'autre, sont en ligne droite. 



Maintenant, d'après une généralisation donnée par M. Darboux(t. IV, 

 p. 34) à un théorème de M. Kœnigs sur les réseaux plans à invariants 

 égaux, théorème auquel on peut donner une démonstration purement pro- 

 jective, il existe une conique F tangente en T, et Tj àMT, et MT^, et ayant 

 en ces points trois points communs avec les courbes décrites par T, etTo, et 

 correspondant aux courbes du réseau (M). Il existe pareillement une conique F' 

 tangente en T^ et T, à M'T, et M'T!,, et ayant aussi trois points communs 

 avec les courbes décrites par T', etT!,. J'ai démontré que ces deux coniques, 

 situées dans les plans tangents en M et M' aux surfaces S et S', ont deux poiuts 

 communs sur la droite P|P:.. Il en résulte que par F et F' on peut mener un 

 faisceau de quadriques, qui déterminent sur MM' une involution.Les points 

 doubles de cette involution sont les foyers F, et F^. Les surfaces du faisceau 

 tangentes en F, et Fj à la droite MM' sont les deux cônes C, et C. du fais- 

 ceau. Le cône C, est tangent au plan focal MM'P, le long de la droite 

 F,T,T'| et a par conséquent son sommet S, sur cette droite. De même Cj 

 est tangent au plan MM'Pj et a son sommet S^ sur la droite FaToT,,. La 

 droite S, S2 est l'intersection des plans tangents communs à toutes les qua- 

 driques du faisceau et menés aux points d'intersection de F et F'. Enfin 

 remarquons que, aux réseaux ( Mjet(M'}, correspondent les deux réseaux fo- 

 caux(F,)et (Fj). Les tangentes eriF, aux deux courbes du réseau (F,) sont 

 MF, M' et F, T, T', . Cette dernière droite engendre une congruence dont les 

 foyers sont F, et le sommet S, du cône C,. On trouve de même que Sj 

 est le second foyer de la tangente FjToT!, du réseau ( Fj). 



2. Je considère maintenant certains réseaux à invariants égaux de nature 

 toute spéciale, à savoir ceux qui se reproduisent après un certain nombre i 

 de transformations de Laplace. 



On constate facilement qu'on ne peut avoir de tels réseaux qu'à partir 

 de « ^ 3 . 



Pour i =; 3, on trouve que le réseau doit être plan et que, en choisissant 

 convenablement le facteur arbitraire des coordonnées homogènes, ces coor- 

 données vérifient un système de la forme 



du- du de du âv di'^ du dv 



Si l'on se rapporte à un résultat que j'ai obtenu antérieurement (^Co/n/j/e^ 

 rendus, 10 juin 1907), on conclut que ces réseaux sont la perspective sur un 



