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plan des lignes asymptotiques des surfaces S, dont la courbure totale est pro- 

 portionnelle à la quatrième puissance de la distance d'un point fixe au plan 

 tangent. 



Pour i = 4, on retrouve les réseaux (M ) donnés par M. Darboux ( t. 111, 

 p. 472) comme généralisation des surfaces minima. 



Pour j]>4 les formules se compliquent et je n'ai pas encore obtenu de 

 résultat simple. 



GÉOMÉTRIE. — Sur la cyclide de Lie. Note de M. A. Dumoulin. 



Dans notre Note du 28 septembre 1908 (p. 565) nous avons attaché à 

 tout point d'une surface une infinité simple de quadriques parmi lesquelles 

 on trouve la quadrique de Lie. Les cyclides de Dupin qui leur corres- 

 pondent dans la transformation de Lie sont précisément les cyclides (S) 

 envisagées dans notre Note du 19 octobre 1908 (p. 669). A la quadrique de 

 Lie correspond la cyclide que nous avons définie dans la première des Notes 

 citées. L'existence de cette cyclide a été signalée par Lie, en 1882, dans les 

 Forhandlingcr de Christiania. Nous l'appellerons cyclide de Lie et nous la 

 désignerons par la lettre (A). 



]J'ensemhle des cyclides (S) est conservé dans l'inversion et dans la dilata- 

 tion. Cette propriété appartient aussi à la cyclide de f^ie. 



Nous avons formé l'équation des cyclides (il) en les rapportant au (rièdre 

 Mœyz dont les arêtes Ma?, My, M s sont respectivement les tangentes aux 

 lignes de courbure (M^,), (M„) et la normale à la surface. 



Soient G et G' les rayons de courbure géodésique des lignes de cour- 

 bure (M,,) et (M„). Si l'on définit les plans tt; et -' par les équations 



,r y z X y z 



l'équation de la cyclide (S) correspondante est 



I , W R' ] 1 \ 



JV _ R_ _R \V_ 



y Cl'- " (.;- "^ /.'G ~ 'lAV 



:„.. 



X- y- 



GR' U'-R 



\_ i_ RR' / I i_ _r i_Y 



R "^ rr ^ K'— Il VG* ~ G'- "^ /'(; }.G'/ 



XZ YZ 



__ + .__, = 0. 



