Io42 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



méthode importante, indiquée tout brièvement par Riemann dans le para- 

 graphe 13 de son Mémoire sur les séries trigonométriques. 



En faisant usage d'une transformation simple, et en appliquant certains 

 théorèmes généraux, je donne (et je crois pour la première fois) une dé- 

 monstration rigoureuse de cette méthode, esquissée par Riemann. 



J'ai trouvé plusieurs applications de la formule (2). Les unes se rap- 

 portent à la détermination de l'expression asymptotique du coefficient «„ 

 des séries convergentes la„r-", qui satisfont à une équation différentielle 

 linéaire et homogène n'appartenant pas à la classe de Fuchs. Les autres se 

 rapportent à des questions, déjà résolues par d'autres méthodes, ou seu- 

 lement posées par Riemann, du Bois-Reymond, Saalschiitz, Pringsheim et 

 moi dans divers Mémoires, et relatives au problème de la convergence, ou 

 sommabilité d'une série de puissances sur son cercle de convergence. 



Une exposition détaillée de ces recherches sera publiée dans un Mémoire 

 plus étendu. 



ANAI^YSE MATHÉMATIQUE. — Sur une classe d'équations différentielles li- 

 néaires d'ordre infini. iNote de M. T. Lai.esco, présentée par M. Emile 

 Picard. 



Dans un travail antérieur j'ai montré que la résolution de l'équation de 

 Volterra revient au problème de Cauchy pour une certaine classe d'équa- 

 tions différentielles linéaires d'ordre infini qui, avec les notations actuelles, 

 se présentait sous la forme 



Cette forme peu commode tient à l'insuffisance des notations; il est utile 

 d introduire en même temps que les dérivées d'une fonction aussi ses inté- 

 grales. Cette introduction devient nécessaire dès qu'on passe aux ordres 

 infinis; dans ces conditions et posant 



n 



la classe d'équations différentielles rencontrées peut être présentée sous la 

 forme 



(i) a^{x) y + a^{x) ( y ^ a^{x) j y ^ . . .-\- a„{x) j y + . . . — f(.r). 



