SÉANCE DU 3o NOVEMBRE 1908. io43 



C'est à cette classe tout à fait générale d'équations que nous proposons 

 de donner le nom général d' équations intégrales linéaires. Par la transfor- 

 mation 



r. . . f y(s)ds = f y (s) ^-"""'^" rAv [«„(«) ^ o], 



celte équation se réduit immédiatement à l'équation de Volterra 



(3) a,{x)y{x) + r F(.r,,.) r(,y)*= /-(^r) -^y^c,f„{x) 



en posant 



(') i 



Dans tout intervalle où les fonctions a„ (.r) sont finies et continues, sans 

 avoir besoin de rien supposer sur leur caractère analytique, les séries (3) sont 

 absolument et uniformément convergentes et, sans faire appel à d'autres 

 considérations, la théorie de l'équation de Volterra nous montre simplement 

 que l'équation intégrale d'ordre infini (i) a une solution dépendant linéai- 

 rement dune infinité de constantes arbitraires, assujetties seulement à la 

 condition de rendre convergente la série 



^c„f„{x). 



n = i 



Il est remarquable de constater que c'est le cas le plus simple (2) de 

 l'équation de V^olterra qui se présente comme le cas général; l'équation 

 générale de Volterra 





¥(u',s)r{s)ds=/ix) 

 correspond au cas particulier 



a„{x) =0 



avec 



C-„=0 (/« =1, 2, . . ., 00); 



elle revient donc à la détermination de la solution de (i) qui s'annule ainsi 

 que toutes ses intégrales pour a:- = o; c'est donc un problème de Cauchv 

 pour (i). 



