SÉANCE DU 7 DÉCEMBRE 1908. I Io5 



et importants travaux de Géométrie infinitésimale. Au délaul de sa carrière, 

 en iHyç), M. Bianchi a fait connaître une élégante méthode de récurrence 

 qui permet, étant donnée une surface à courbure constante négative, d'en 

 déduire une suite indéfinie de surfaces nouvelles de même définition. Il suffit 



de tracer sur une surface donnée ( S) à courbure constante 7 une famille 



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de géodésiques (g), assujetties à concourir en un point à l'infini de la surface ; 



les tangentes à ces géodésiquos sont normales à une surface ( 1 ) pour laquelle 



la (litrérence des rayons de courbure principaux est égale à a; elles sont de 



plus tangentes à une autre surface (S,) qui, comme (S), est à courbure 



constante -■ Il est vrai que ce théorème avait été trouvé dès 18-0 par 



Ribaucour, qui avait même montré que toutes les surfaces (S, ) dérivées 

 ainsi d'une même surface (S) forment une famille de Lamé. Mais c'est à 

 M. L. Bianchi, qui d'ailleurs ne connaissait pas les propositions énoncées 

 d'une manière incidente jiar Ribaucour, que revient le grand mérite d'avoir 

 su tirer de la proposition précédente une méthode vraiment originale de 

 transformation des surfaces à courbure constante négative. 



(lelle méthode imaginée par M. L. Bianchi a été l'objet d'un grand nombre 

 de travaux. Dès le début, Sophus Lie lui apporta un perfectionnement essen- 

 tiel, en faisant la remarque fondamentale que, si l'on connaît les lignes géo- 

 désiques de la surface primitive (S ), l'application indéfiniment répétée de la 

 méthode n'exigera plus que des quadratures. Quelque tenqis après, en i883, 

 un géomètre suédois, M. Bâcklund, généralisa de la manière la plus simple 

 le théorème de Ribaucour et la méthode de M. Bianchi. L'étude analytique 

 et géométrique de tous ces résultats, poursuivie et approfondie par différents 

 géomètres, au nombre desquels il faut compter M. Bianchi, a contribué à 

 former un des Chapitres les plus intéressants de la Géométrie infinitésimale. 

 On peut le résumer en ces ternies. Désignons sous le nom de congruencesW 

 ces congruences rectilignes dont nous devons la connaissance à M. Guichard 

 et qui jouissent de la propriété que les lignes asymptoliques se correspondent 

 sur les deux nappes de la surface focale. Cela posé, il existe une infinité de 

 congruences W pour lesquelles les deux nappes (S), (S,) de la surface 



focale sont des surfaces de même courbure constante négative ;, et, si l'on 



'^ a- 



se donne arbitrairement une des nappes (S ), l'autre pourra s'en déduire par 

 des opérations diflerentielles qui la feront dépendre de deux constantes 

 arbitraires. En d'autres termes, et suivant la terminologie pittoresque de 

 Sophus Lie, à chaque surface (S) correspondront -x? surfaces (S,\ 



On peut caractéi'iser le Mémoire présenté par M. Bianchi en disant que 



