SÉANCE DU 7 DÉCEMBRE I908. 1107 



début de 1899 et relatives aux surfaces applicables sur les quadriques de 

 révolution, contiennent de très belles propositions géométriques et ont 

 exercé une grande influence sur le développement ultérieur delà théorie. Je 

 me borne à signaler d'autres travaux plus récents, notamment une Com- 

 munication de 1903, où se trouvent des résultats nouveaux, qui méritaient 

 une étude approfondie. 



Dans le Mémoire qu'il a présenté au concours, M. Guichard a négligé 

 tout ce qui, dans ses études précédentes, s'appliquait à des quadriques par- 

 ticulières. Envisageant le problème qui lui était posé sous un point de vue 

 très général, il indique deux groupes distincts de transformations qui per- 

 mettent de faire dériver d'une solution du problème une infinité de solutions 

 nouvelles. 



Le premier groupe est formé de celles dont la mise en train n'exige que la 

 résolution préalable d'une équation de Riccati. Cette équation étant résolue, 

 on peut poursuivre l'application de la méthode en elï'ectuant des quadra- 

 tures. 



Parmi les transformations de ce groupe se trouvent celle que nous avons 

 rappelée plus haut et que M. Guichard avait fait connaître en 1897; il yen 

 a aussi une autre où il introduit ce qu'il appelle les congruences K . 2 O. ^ oici 

 une propiiété géométrique de cette transformation : 



«. Soit M un point qui décrit une surface (S) applicable sur la qua- 

 drique (Q). Rapportons les deux surfaces à leur système conjugué com- 

 mun (M). A ce réseau (M) est conjuguée une simple infinité de con- 

 gruences K.2O. Celles de ces congruences qui correspondent au point M 

 engendrent un cône de second ordre. Sur chacune de ces congruences, il y a 

 une simple infinité de points N qui décrivent des surfaces (^iN) applicables 

 sur la quadrique. Les plans tangents à toutes les surfaces (N) qui corres- 

 pondent à une même droite de la congruence enveloppent un cône du 

 second ordre; le sommet de ce cône décrit aussi une surface applicable sur 

 la quadrique. » 



A ce premier groupe de transformations, M. Guichard en adjoint un autre 

 dont la mise en train exige une opération plus compliquée que la solution 

 d'une é({uation de Riccati, opération dilTérenticlle dénommée d'ordre deux 

 par son auteur, et qui équivaut à la formation d'un déterminant orthogonal 

 du quatrième ordre, connaissant ses rotations. Quand cette première opé- 

 ration est effectuée, on peut poursuivre ici encore uniquement à l'aide de 

 quadratures. 



