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Dans l'hypothèse où nous nous plaçons, les séries définissant analytique- 

 ment le coefficient OÏL convergent avec tant de lenteur, leur formation est si 

 laborieuse, (jue passer par leur intermédiaire serait en général imprati- 

 cable. Il est beaucoup moins long de déterminer 3Tb à l'aide d'une méthode 

 imaginée par Cauchy, méthode parfaitement appropriée à l'évaluation 

 exacte des coefficients des inégalités d't)rdre élevé. 



En fait, le rôle de la méthode de Cauchy se trouve limité, la plupart du 

 temps, dans les applications, à rendre manifeste la faiblesse de ces inégalités 

 et à montrer qu'il est inutile d'en tenir compte dans l'expression des per- 

 turbations de la longitude moyenne. 



Une pareille constatation peut se faire, à moins de frais, en calculant une 

 valeur approchée de art, par un moyen relativement expédilif, sur lequel 

 je me propose de donner quelques indications dans ce qui va suivre. 



Remarquons d'abord que, si l'on développe la fonction perturbatrice sous 

 la forme 



ISA I7-(mî+;H,:;,)v/~ 



.M «ri rVf„ ,;,| Ij 11', 



E désignant la base des logarithmes népériens, on a identiquement 



D'autre part, si l'on fait abstraction de la partie complémentaire de la 

 fonction perturbati'ice, qui ne donne rien de sensible dans l'hypothèse où 

 •nous nous plaçons, on a 



A représentant l'expression de la distance des planètes. 



Pour calculer une valeur approchée de A,„ ,„ , nous commencerons par 

 évaluer l'intégrale 



J = / -^— di, 



dans laquelle l'anomalie '(, est supposée avoir reçu une valeur particulière. 

 Afin de fixer les idées, nous admettrons que l'entier élevé m est positif. 

 Appelons u l'anomalie excentrique et sin'ji l'excentricité de la planète P; 



posons 



- _- yj,^—^ 



et prenons :; comme nouvelle variable d'intégration. Il vient, en tenant 



