1254 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



supposerons que \ désigne le plus petit argument positif de cette racine. 

 La considération des courbes d'égal module de la fonction 



qui figure à la puissance m sous le signe / > est également de première im- 

 portance pour l'objet que nous avons en vue. 



On reconnaît que, pour | >p(;)| = i , ces courbes possèdent une nappe N 

 qui se confond avec la circonférence |s| = i. Quand on fait décroître |jp(s)| 

 d'une façon continue, la nappe N, partant de la circonférence |;| = i, se 

 contracte en se rapprochant en tous sens de l'origine. Le rayon vecteur de 

 cette nappe, dans chacune de ses positions, va d'ailleurs en croissant lorsque 

 l'argument de z croît, en valeur absolue, ^e o à -k. La nappe N continue à 

 se déformer ainsi, en restant fermée, jusqu'à ce qu'elle atteigne le point 



z = tang-> où la dérivée f'(z) devientnulle. Cette nappe occupe alors une 



position particulière que nous désignerons par N,. 



Revenons maintenant à l'équation A = o. De ses deux racines de module 

 inférieur à i, l'une est toujours renfermée à l'intérieur de la courbe N,, 



puisque son module est inférieur à tang-- La racine Z, au contraire, est, 

 en général, comprise entre la circonférence | ^ | ^ i et la courbe N,, tout au 

 moins lorsque l'excentricité sinj^ est assez petite, puisque — est alors fini, 

 tandis que le rayon vecteur de ?N, est de l'ordre de grandeur de tang-- 

 Au surplus, les conditions nécessaires et suffisantes pour que la racine Z 



soit extérieure à N, sont 



4^ 



p, < col-, 



2 



1 _, .i./'. 1 



Ces préliminaires posés, il y a deux cas à distinguer pour obtenir la 

 valeur asymplotique de l'intégrale J. 



1° Supposons d'abord la racine Z comprise entre la circonférence [s | = i 

 et la courbe ÎS,. Considérons, d'autre part, la nappe N des courbes d'égal 

 module de 5(:) qui passe parle point dont l'affixe est Z. Traçons à l'iité- 

 rieur de la nappe N une courbe fermée voisine C,, tangente à cette nappe 



