SÉANCE DU l4 DÉCEMBRE 1908. 1255 



au point Z et en ce point seulement. Dans ces conditions, le long de la 

 courbe G, , | f(^) | prend sa plus grande valeur pour z = Z. 



D'autre part, A reprenant sa valeur, lorsque la variable z revient au 

 point de départ, après avoir décrit en entier le contour | ^ | = i , la courbe C, 

 devient un chemin d'intégration équivalent à ce contour, si on la déforme 

 infiniment peu, dans le voisinage du point s := Z, vers la région du plan 

 dans laquelle | o(s)| > | ai(Z)|. Or, en se reportant à mon Mémoire Sur 

 r approximation des/onctions de grands nombres (p. aGS), on reconnaît que 

 c'est précisément la condition pour que la considération du point z -=2, 

 conduise à la valeur asymptotiquo de l'intégrale J. On arrive, tous calculs 

 faits, à l'expression 



S,, z.^^ Z3 désignant, en plus de Z, les trois autres racines de A", et £ une 



quantité de l'ordre de grandeur de — • 



Le sens des radicaux imaginaires, figurant dans l'expression de J, est 

 complètement défini par la condition qu'ils doivent être pris chacun avec 



l'argument qui diffère le moins de -• 



2° Lorsque la racine Z est intérieure à la courbe N,, ce qui doit être 

 tout à fait exceptionnel, en admettant même que ce soit possible, on ne peut 

 plus raisonner comme nous venons (^e le faire, parce que la courbe d'égal 

 module de ç(z), rencontrant le point dont Z est l'affixe, passe alors par 

 l'origine. Mais, dans ce cas, la circonférence décrite, de l'origine comme 



centre, avec tang- pour rayon, peut au besoin être dilatée, à l'intérieur de 



la courbe N,, de manière à renfermer la racine Z. 



Le contour ainsi obtenu non seulement est équivalent, pour l'intégrale J, 

 à la circonférence | j | ;= 1 , mais, de plus, la plus grande valeur de | cp(-) 1, 



le long de ce chemin, correspond à la valeur s = tang- qui est racine 



de cp'C^)- On se trouve dans un cas où la considération du point z = tang- 



conduit à la valeur asymplotique de J [voir pages 252 et suivantes de mon 

 Mémoire (')]. 



( ' ) Voir aussi Dauboux, Mémoire sur l'approximation des fonctions de très grands 

 nombres {Journal de Mathématiques pures et appliquées, 1878). 



