SÉANCE DU l4 DÉCEMBRE 1908. I267 



GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur les ligTies géodësiques. 

 Note de M. Jules Dkach. 



Après avoir exposé les recherches systématiques (Bour, O. Bonnet, 

 M. Maurice Levy) sur les intégrales algébriques en (/j, cj) de l'équation des 

 géodésiques 



( 1 ) 1^ = ep"" -+- ■ifpq -r grf- -^1=0, 



M. Darboux, dans ses Leçons sur la théorie des surfaces ('3'' Partie, 

 u"'' 619-621) présente d'une manière synthétique des résultats qu'il a obtenus 

 en cherchant pour l'équation (i) des intégrales de forme particulière. Kn 

 suivant la voie ouverte par l'éminenl géomètre, je suis parvenu à ([uehjues 

 résultats nouveaux, qui font l'objet d'un Mémoire plus étendu, publié ailleurs 

 et que je demande la permission de résumer ici. 



1. Je me suis proposé d'abord la recherclxf de tous les cas où l'érjualion ( i ) 



admet une intégrale 



w(p, q) =^ consl. 



ne dépendant que des arguments /> et q. 



< )n trouve sans difficulté (jue la fonction F des variables a et v doit satis- 

 faire identiquement à une relation 



dont la discussion conduit aux conclusions générales suivantes : 



„. , . d¥ d? , , , . ,. , 



1" Si le quotient —— : -— est du second degré en p, q^ on a pour e, /, l; les expressions 



flH + />(' + c- . d' Il ^ b\- + c' a" a -^ I)" \' -^ r." 



e = ^ > /=- 



IZC, 



\ — a"' ii-\- b'"v + c"'. 

 La fonction o est la constante d'intégration pour l'équation 



M. Darboux a signalé le cas pailiculier où }, est constant; il existe alors des surfaces 

 spirales possédant l'élément linéaire correspondant. Cette dernière conclusion s'éteml 

 ici an cas où c -^r £■'== c":^ c " = o. 



<;. li., 1908, 2= Semestre. (T. CVLVIl, N ■ 24.) iti^i 



