1,268 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



. ÔF (W ^ . , . 



2° 31 le quotient -r— : -r— est du premier degré en p, q, on trouve, en posant (y.^r^ii — r, 



les expressions 



c^^ a»— r ' 



3! y.- 



. , c(t' + ^) «ce 



bc\' acv- 



= ci.,— 



(X i a' 



■ , I . , , , p -\- nii 



nui domient, pour le quotient précèdent, — -• 



' ' ' ' /" -t- ''7 



L'équation en /j, </ est du second degré quand on la met sous forme rationnelle : 



( dp -+- dq y- {df, p- + 2di pq -j- d.,q- -- ]) -h cq ( /) + hq ) dp ( dp -h dq) dp'^ — o. 



dF dF . 

 3" Si le quotient -r— : ^-— est indépendant de o et (/, e, f. n sont des tonctions niiel- 



conques d'un argument À qui satisfait à 



du t>(' 



l.'éqiiatiou (i) donne pour / une fonction de /> et y seuls, et o est déterminé par 



à'-ù â'^ . . 

 ilp àq 



Ce cas est loin d'être aussi général qu'il le parait. L'élément linéaire correspondant 

 peut être ramené à la forme 



ds'-^2 /(■/.) dxd^, 



OÙ l'on a 



,3 4- al -+- iJ.{l) = o, 



forme considérée par M. Darboux {loc. cit.), qui a fait voir que la déterminalinn des 

 géodésiques exige l'intégration de l'équation 



H. Dans ce dei^iier cas on ne connaissait pas, en géne'ro/, de surfaces pos- 

 sédanl rélciaenl linéaire 



(2) *2— 4X^(9) û?arf,3, 



lorsqu'on a 



(3 + oco + fji(9) — o, 



