1,368 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



illusoires, puisque certains éléments de nos déterminants sont infinis. On 

 sait comment Fredholm s'est tiré de cette difficulté. Soient /a, /a, ... ce 

 que l'on appelle les noyaux réitérés; si f(x,y) devient infini comme 

 (x — JK)~" 6t que l'exposant a soit suffisamment petit, il arrivera que tous 

 ces noyaux réitérés seront finis à partir de l'un d'entre eux. Supposons 

 donc que /"„ soit fini, ainsi que tous les noyaux réitérés d'indice plus grand. 

 Fredholm ramène l'équation (i) à une autre équation de même forme, mais 

 où X est remplacé par — ('— X)" et / par/„. 



Dans l'équation (2), la fonction méromorphe en A 



se trouve remplacée par une autre fonction méromorphe en À, <I>„(A), dont 



le dénominateur est 



D„=D_,_).,,.f„. 



Si /est fini, /„ l'est également, et les deux formules sont applicables; les 

 deux fonctions méromorphes $ et $„ sont donc égales, ce qui veut dire que 

 l'on peut revenir de la nouvelle formule à l'ancienne en divisant le numéra- 

 teur et le dénominateur par un même facteur commun. Il est aisé en elTel 



de vérifier que, si l'on pose 



Dx/ = F(X) 



et si a est une racine n'^"^' de l'unité, ou aura 



D„r= F(X) F(«^) F(«').)- • • F(««'>.)- 



Qu'arrivc-t-il maintenant quand / devient infini cl que, par exemple, 

 /., est fini? Ici encore, nous devons prévoir que le numérateur et le dénomi- 

 nateur de $2 auront un facteur commun, et que D2 = D_),^;, qui est une 

 fonction entière de X^, sera le produit de deux fonctions entièi'es G(X) et 

 G(— X), le second facteur G(— X) divisant également le numérateur. 



C'est en effet ce qui arrive; on peut alors se proposer, puisque la fonc- 

 tion mémomorphe $ se présente sous une forme illusoire et que la fonction 

 méromorphe $0 n'est pas irréductible, de former une fonction méromorphe 

 irréductible égale à ^.,. Dans ce cas, la solution se présente sous une forme 

 très simple. 



Nous aurons 



N 

 (3) *.= g> 



