SÉANCE DU 21 DÉCEMBRE 1908. 1 869 



N et D étant deux fonctions entières de X qui se formeront de la même 

 manière que D>^f "^ j et D^y.; la seule différence, c'est que les déterminants 



- I "^lï ^2) • • * ^ *^« \ /• ( '^' '^*' "^^^ • * • ' ^n \ 



\ûC^f X^, . . . , 'VnJ \^> -î^l" ■2^5j • ■ • j ^nj 



seront remplacés par d'autres, formés tout à fait de la même manière, 

 sauf que les éléments y(x,-, x,) qui deviennent infinis seront remplacés par 

 zéro. 



Les considérations suivantes permettront de mieux comprendre la signi- 

 fication de ce résultat. Supposons que la fonction f{x, y^ non seulement 

 soit finie, mais admette des dérivées premières finies. Dans ce cas, d'après 

 un résultat de M. Fredholm sur la loi de décroissance des coefficients, la 

 fonction entière Dx^ sera de genre zéro. Supposons, au contraire, que 

 f{x^y) devienne infinie pour x ^y comme (r — Jk)^" et que a. soit plus 



petit que j- Supposons même, pour éviter toute complication dans l'énoncé, 



que l'on ait 



la fonction l restant holomorphe dans le domaine considéré. On aura alors 



\f,{x',y)-f,{x,y)\<k\x'-xY-^-, 



et, d'après le théorème de M. Fredholm, le coefficient de X'" dans le déve- 



loppement de D_x!y; décroîtra comme («") "■; de sorte que, si a<; ^1 



cette fonction D_).^, sera une fonction entière de genre zéro de X^. Noue 

 savons qu'une fonction entière de genre zéro de X^ peut toujours être 

 regardée comme le produit de deux fonctions entières de X, 



Q{l)G{-l), 



qui sont de genre i. Nous devons donc nous attendre à ce qu'en appe- 

 lant D(X) le dénominateur de la formule (3), on ait 



de sorte que 



G(X) = e*"'>D(X), 



k étant une constante quelconque. C'est en effet ce qui arrive. Ce qui carac- 

 térise la fonction D(X) et la distingue de toutes les autres fonctions G(X), 



