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En rapprochant les deux résultats précédents, on voit que la tangente à 

 la courbe (0„) coupe la conique (F) aux points C, et C.,. 



De même, si l'on désigne parO' le centre de la sphère osculatrice de (M„) 

 en M, la tangente à la courbe (01) coupe la conique (F') aux points C, et C^. 



Envisageons à présent le cas où le point Cl coïncide avec le point C, . 

 Alors la conique (F') et la courbe (C',„) ont, en Q\ , même axe de courbure. 

 D'autre part, la conique (F') et la courbe (Q) ont, en C', même axe de 

 courbure. Par suite, en vertu d'un théorème dû à M. Darboux (^Leçons, 

 4" Partie, p. 38), sur la surface (O'), lieu du point O', le réseau conjugué 

 (m, r) a ses invariants ponctuels égaux. 



Puisque C, coïncide avec C, , le cercle (ii^) coïncide avec le cercle (i2', ), 

 et les surfaces (Mo) et (M,) coïncident respectivement avec les surfaces 

 (M,) et(M4). La sphère (Sc_) est une sphère principale de la surface (M,); 

 la ligne de courbure qui lui correspond est tangente au cercle (iî,) et son 

 équation est de la forme u = const. De même, la sphère (Se,) est une sphère 

 principale de la surface (M^); la ligne de courbure qui lui correspond est 

 tangente au cercle (iî^) et son équation est aussi de la forme u = const. 

 Par suite, sur les surfaces (M, ) et (M,), qui sont les deux nappes de l'enve- 

 loppe de la sphère (S, ,), les lignes de courbure se correspondent. 



Parmi les surfaces (M) considérées, il y en a pour lesquelles le point Cj 

 coïncide avec le point C,. Alors {Cl.,) coïncide avec (Q, ) et la surface (M^) 

 coïncide avec la surface (M,). Les centres de courbure principaux de (M,) 

 en M, sont les points C, et C, ; les lignes de courbure qui passent en M, 

 sont tangentes aux cercles (ii,) et (Î2', ), et leurs équations sont respective- 

 ment de la forme u = const., v = const. On voit que sur les surfaces (M) 

 et (M,) les lignes de courbure se correspondent. En outre, les sphères (SqJ 

 et (S,;.) sont respectivement tangentes aux sphères principales (Sg.) et (Se) 

 de centres C' et C. 



La conique (F) et la courbe (C,,.) ont, en C,, même axe de courbure. 

 D'autre part, la conique (F') et la courbe (C',„) ont, en C, , même axe de 

 courbure. Par suite, les coniques analogues à (F) et (F'), relatives au 

 point M,, sont précisément les coniques (F) et (F'). Des lors, les cyclides 

 de Lie relatives aux points M et M, ayant même développée sont parallèles; 

 or, elles se touchent en M,, donc elles coïncident. 



La tangente à (C^,) en C, est l'axe de la ligne de courbure (M^); or, 

 cette droite est l'axe du cercle (iii); concluons de là que le cercle (ii,) est 

 le cercle osculateur de (M,„). De même, (O',) est le cercle osculateur de 

 (M„). 



