SÉANCE DU 21 DÉCEMBRE 1908. l387 



Le point O, centre de la sphère osculatrice à (M^), est aussi le centre de 

 la sphère osculatrice à (M, „). Ces sphères coïncident, car elles renferment 

 respectivement les cercles (O) et(i2,), lesquels se coupent aux points D', 

 elD,. De même, les sphères osculatrices des lignes de courbure (M„) et 

 (M,,,) coïncident. 



La droite OC, coupe la tangente à (M,.,) au centre de courbure géodé- 

 sique G, de (M,„) et la droite O'C, coupe la tangente à (M,„) au centre de 

 courbure géodésique G', de (M,^,). 



La tangente à la courbe (G„) et la tangente à la courbe (G,,,) coïncident, 

 car elles passent toutes deux par les points D, etDa- Dès lors, la droite GG, 

 a pour foyer les points G et G,, et les développables qu'elle engendre cor- 

 respondent aux lignes de courbure des surfaces (M) et (M,). De même, la 

 droite G' G', a pour foyers les points G' et G',, et les développables qu'elle 

 engendre correspondent aussi aux lignes de courbure des surfaces (M) 



et (M,). 



Des considérations qui précèdent il résulte que les hexagones 



CG'O'C'.C.O et MGGiM,G;G' 



jouissent des propriétés suivantes : 



Hexagone CC'O'C, C,0. — 1° Sur chacune des surfaces décrites par 

 les sommets de cet hexagone, le réseau (m, v) est conjugué et les tangentes 

 aux courbes de ce réseau sont les côtés de l'hexagone qui se coupent au 

 sommet considéré. Dès lors, si l'on applique à un quelconque de ces ré- 

 seaux la transformation de Laplace, après six telles transformations on 

 retrouvera le réseau initial. — 2° Sur les surfaces (O) et (O'), les réseaux 

 (m, v) ont leurs invariants ponctuels égaux, et les coniques de M. Darboux, 

 relatives aux points O et O', sont focales l'une de l'autre. — 3" Les con- 

 gruences engendrées par les côtés CC et C, C', sont normales. 



Hexagone MGG, M, G, G'. — 1° Même propriété qu'au 1° ci-dessus. — 

 2° Sur les surfaces (M) et (M,), les réseaux (m, v) sont orthogonaux. — 

 3° Les côtés GG,, G' G', sont orthogonaux. — 4" Chaque sommet de cet 

 hexagone est situé sur un des côtés de l'hexagone CC'O'C, C, O. 



J'ajoute que les côtés MG, GG,, G|M,, M, G',, G, G', G' M de l'hexagone 

 MGG,M, G, G' sont respectivement parallèles aux normales aux surfaces 

 décrites par les sommets C, O', C, , C,, O, C de l'hexagone CC'O'C, C, O 

 et que les côtés CC, C'O', O'C',, C'^C,, C,0, OC de ce dernier hexagone 

 sont parallèles aux normales aux surfaces décrites par les sommets M, G, 

 G, , M, , G', , G' de l'hexagone M GG, M, G', G'. Ces relations entre les deux 

 hexagones sont bien d'accord avec la loi d'orthogonalité de M. Guichard. 



