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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les singularités des fonctions analytiques. 

 Note de M. Paul Dirnes, présentée par M. Emile Picard. 



■l. Nous avons des méthodes fort précises pour la sommation des séries 

 divergentes, grâce aux travaux de Cesàro et surtout à ceux de M. Borel. 

 L'application la plus importante de ces méthodes est la détermination 

 simple de la valeur d'une fonction analyticjue en un point régulier situé sur 

 sou cercle de convergence ou même en dehors de ce cercle. Dans cette Note 

 nous allons montrer que ces méthodes peuvent rendre des services aussi 

 dans l'étude des singularités. 



On sait qu'en cheminant, dans le cercle de convergence ou sur le cercle, 

 vers un point singulier d'ordre négatif (dans le sens de M. Hadamard), on 

 obtient toujours une limite bien déterminée. Nous dirons que celte limite 

 est la valeur de la fonction en ce point. Supposons que le rayon de conver- 

 gence soit l'unjté. 



Dans le cas où les coefficients a„ de la série donnée tendent vers zéro, la 

 série est convergente dans tous les points d'ordre négatif. 



Soient /• un nombre quelconque réel, positif, et œ^ l'affixe d'un point 

 d'ordre négatif situé sur le cercle de convergence. 



Si 

 (.) li'nS^'^' 



les /•"=""'* moyennes arithmétiques a','^' des sommes 



S« = «0 + «1 -^'o + • • • -H «« •«'» 



ont une limite pour n infini, et cette limite représente la valeur de la fonction 

 en ce point (singulier). 



Dans le cas le plus général, où les coefficients sont quelconques, la limite 

 généralisée des s„ (au sens de M. Borel) existe et représente la valeur de la 

 fonction en ce point (singulier). 



2. Supposons maintenant que .r„, ou, pour plus de simplicité, le point i , 

 soit un pcjle ou point critique algébrique, de sorte que dans le voisinage 

 de I on ait 



