SÉANCE DU 21 DÉCEMBRE I908. 1^89 



OÙ B;t est une conslante, /• un nombre réel quelconque (excepté les entiers 

 négatifs qui, d'ailleurs, ne sont pas intéressants), l'ordre de fi('V) étant 

 inférieur à /" au point i. En ce cas : 



Pour que la limite 



existe, c'est-à-dire pour que B,, puisse être déterminé par les moyennes d'ordre 

 r — k, il faut et il suffit que les coefficients satisfassent 0(1). 



Nous remarquons le fait intéressant que la détermination d'une singula- 

 rité d'ordre plus élevé exige des moyens moins compliqués que le calcul en 

 un point ordinaire. 



Dans le cas général où les coefficients sont quelconques, nous nous servons 

 de nouveau de la sommation exponentielle de M. Borel. 



Supposons que le point i soit un pôle d'ordre k, situé sur le polygone de 

 sommabilité, et soit S(«) la somme exponentielle formée en ce point. Cela 

 posé, la limite 



y S(«) B,. 



lira -^ = 77 



existe et permet de calculer le coefficient B^ de la partie principale. 



Le théorème se généralise encore à l'aide des sommations exponentielles 

 généralisées. 



3. Enfin, nous indiquons que la méthode de Cesàro nous a permis de 

 décider par un exemple une question assez importante dans l'étude des 

 singularités. M. Borel (') a montré sur un exemple que l'ordre de la fonc- 

 tion sur son cercle de convergence et le degré d'infinitude sur le cercle (qui 

 sont les deux notions fondamentales rattachant aux singularités) peuvent 

 être difîérents dans le cas où les coefficients sont à croissance irrégulière. 

 L'exemple 



H ^ 00 

 f{.x)=^{-l)<rn)x'\ 

 n = a 



où t{\Jri) est la partie entière de \/n, nous montre que l'ordre (ici égal à i) 

 peut fort bien surpasser le degré d'infinitude (ici égal à ^ au plus) même dans 

 le cas où les modules des coefficients so/tt à croissance régulière. 



(') E. Borel, Leçons sur les séries à termes positifs, p. 77. 



