SÉANCE DU 21 DÉCEMBRE 1908. iSgi 



d'écrire l'intégrale générale sous la forme r = /(a;, C), puisqu'on peut 

 prendre comme constante d'intégration tout paramètre dont la valeur déter- 

 mine une intégrale particulière de l'équation. D'où la question : Est-ilpos- 

 sible de choisir le paramètre C de manière à ramener les substitutions (S) à 

 des substitutions fondamentales qu'on sache étudier? 



La difficulté réside, on le voit, dans le choix d'un paramètre d'intégration 

 convenable ; car nous devons dire tout de suite que la constante généralement 

 adoptée (valeur initiale >'„ de y pour une valeur donnée a-^ de x) ne satisfait 

 nullement à la condition que nous avons posée. Il nous faut donc trouver un 

 autre paramètre, ou, peut-être, plusieurs paramètres, qui nous serviront 

 l'un après l'autre : rien ne nous oblige, en effet, à étudier en même temps 

 toutes les substitutions (S), [c'est-à-dire toutes les déterminations de l'inté- 

 grale y (:«;)] ; nous pouvons répartir ces substitutions (ces déterminations) 

 entre plusieurs groupes que nous considérerons séparément; après quoi il 

 ne nous restera plus qu'à définir les substitutions qui permettent de passer 

 d'un groupe à l'autre. 



Or il nous sera facile d'isoler, de pi'ime abord, certains ensembles de 

 déterminations de y (ce) qui remplissent les conditions requises. On sait que 

 les équations (1) ^^^ présentent, comme singularités situées à distance finie, 

 que des points critiques algébriques et des points de Briot et Bouquet au 

 voisinage desquels l'étude de y se ramène à l'étude de certaines équations de 

 la forme 



{x — y.)— =l^t -h ai{x — a) -h InJ^-h. . ■■ 



On sait, de plus, que, si la partie réelle de A est positive, / est représentable 

 autour de a, par un développement procédant suivant les puissances entières 

 de (.1- — a) et de C'(ir — a)'', G étant une constante d'intégration. Imagi- 

 nons alors que nous tournions indéfiniment autour de a de manière à engen- 

 drer une infinité de déterminations de l'intégrale : les substitutions de C cor- 

 respondant à ces déterminations sont toutes des produits de la substitution 

 fondamentale (C, e-™^iC'). 



Les recherches que j'ai faites sur les points de Briot et Bouquet présentés 

 par les équations (i) m'ont permis de déterminer exactement le mécanisme 

 des permutations qui s'opèrent au voisinage de ces points et m'ont montré 

 ceci : au point transcendant correspondent deux nombres \\ , \'^ liés par la 

 relation X',"' H- X',"' ^ — i^ et deux paramètres d'intégration C, , C!,, liés par 

 la relation 



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