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[sauf pour un ensemble de valeurs rationnelles exceptionnelles (') des X'|; 

 toutes les substitutions ( S ) correspondant aux permutations opérées au voisi- 

 nage de a se ramènent aux deux substitutions fondamentales 



A l'infini, les intégrales de ( i) peuvent présenter un point transcendant, 

 qui ne soit pas point de Briot et Bouquet. J'ai déterminé, dans ce cas encore, 

 le mécanisme des permutations opérées autour du point transcendant, mé- 

 canisme auquel correspondent certaines substitutions de nouveaux para- 

 métres d'intéj^ration. Mais je me suis surtout elTorcé d'approfondir l'étude 

 des cas où le point v = ce est un point de 15riot et Bouquet, près duquel-les 

 branches d'intégrale ont une croissance rationnelle (^ ). Plus particulière- 

 ment, j'ai considéré l'équation 



(■>■) y~z-K ;-^ H- a: — 2{.r — a)(a7 — [3)(,.r — o) = o, 



(jui est l'une des plus simples parmi les équations (i) non intégrables. 



L'étude des singularités transcendantes de (2) conduit à considérer huit 

 équations de Briot et Bouquet, (deux par point transcendant) auxquelles 

 correspondent huit exposants X,, À^, .. ., A,", X™ (pour x — ce, A, = Ao= 2) 

 et huit paramètres C,, C^, ..., C,, C!l' (les deux premiers pour l'inlini). 

 Pour chaque paramètre, nous avons un groupe de substitutions très simple. 

 Tout revient donc à chercher comment les huit paramètres sont fonctions les 

 uns des autres. Si nous savions déterminer les singularités d'une fonction 

 telle que C|(CÎ), si nous démontrions, par exemple, que ces singularités 

 sont en nombre lini, nous lèverions la plus grosse des difficultés qui s'op- 

 posent à l'élude des équations ( 2 ). 



Ce qui rend fort compliquée la théorie des équations différentielles, c'est 

 l'existence des points critiques algébriques, qui semblent n'être distribués 

 suivant aucune loi définissable. C'est à cause de l'embarras où nous mettent 

 ces points que \1. Painlevé s'est attaché à déterminer les équations qui en 

 sont dépourvues. Mais Ion peut se demander s'il ne suffirait pas de savoir 

 exactement ce qui se passe au voisinage des points transcendants pour en 

 déduire ce qui se passe dans tout le plan. L'étude des substitutions (S) serait 



(') Les cas exceptionnels peuvent, eux aussi, être complètement étudiés. 

 (^) Cf. mes Leçons sur les fonctions déjinies par les équaliotis différenlieltcs du 

 premier ordre, Chap. II. 



