SÉANCE DU 21 DÉCEMBRE 1908. 1 3c)3 



alors ramenée à l'élude des substitutions subies par les paramètres C',, 

 C.',, ..., que nous avons définis. 



J'espère montrer prochainement que, dans certains cas tout au moins, 

 cette réduction est possible. 



GÉOMÉTRIE. — Sur la condi/ion pour que sept droites soient situées sur une 

 surface du quatrième degré. Note de M. E. Tuaynard, présentée pai- 

 M. P. Painlevé. 



La surface du 4* degré la plus générale dépend de 35 paramètres homo- 

 gènes; par conséquent il existe une relation entre 7 droites tracées siii' 

 elles. Cayley ( ' ) a signalé l'existence de cette relation sans pouvoii- 

 l'obtenir. La méthode suivante simplifie notablement le calcul. 



J'ai démontré que léquation générale des surfaces du 4*^ degré contenant 

 6 droites cjuelconques est de la forme 



s 

 1 



Q;i. = o étant la quadrique menée par J des 6 droites, Q'/;= o la cpiadrique 

 déterminée par les 3 autres. En exprimant que la septième droite est 

 sur cette surface et éliminant les a, on obtient la condition sous la forme 

 d'un déterminant du 5*^ degré. On peut dire aussi qu'on a fait passer la 

 surface 



(2) ^a/,Q;,Q;,=o, 



par les points d'intersection de la septième droite et des quadriques ( ), ^ o. 



On peut donner de cette condition l'interprétation géomctriijue suivante : 

 chacune des quadriques Q,^(), O'^ = o coupe la surface (\) ou la sur- 

 face (2) suivant 3 droites et une quinlique uuicursale; l'ensemble des deux 

 quintiques dépend de cjuatre paramètres homogènes; la septième droite est 

 une sécante doulile commune aux deux courbes. 



(') Coll. Math. Pap., Vol. 111, p. 17S. La coiulilion \ est indiquée sous la l'orme 

 d'un délerminanl du 35" degré. 



