SÉANCE DU 21 DÉCEMBRE 1908. l395 



Si l'on pose 



Vj.=: (A sin mt -h B cosmt)ii, 



a étant une fonction de x^ on voit aisément qu'on satisfait aux équations (1), 

 (2), (3) en prenant 



a = sin(2«i \/lyj[-), 

 I,. ^ v/i (^ cosmt — B sinm<) cos(2ni \/}.yj.-) 



et en déterminant m par la relation 



colang( 2 m \/}.y r/) — /i .2 m \/}.y d ^= o {Il x lyd-r^G). 



Désignons par 7cv„ la «'""" des racines positives, rangées par grandeur 

 croissante, de l'équation : cotang(iiv) — hv = o, et soient 



■^ / . . 7rv„ t TTv,, t \ . 7rv„ .r 

 ir = > A,, sin =^ 1- B„ cos =^ sin — ; — > 



1 / - / = ^ A„ cos =rz B„ SI II p=r— COS ;— ! 



V y' ^\ 2^/lyd is'lyd) à 



on peut déterminer les A et B de façon que la solution cherchée soit 



V = u., I =j. 



En elfet, le calcul des résidus (') permet de montrer que, pour l = o 

 et o£a;5r/, on aura w = v{cc) ety = i{-i')i si l'on prend 



47:v„ + sill(2Tf 



• — - / sin(27rv„/j.)/(fx)f/fi, 



2 

 B„ r^ -; -. — ■ / COS ( 2 7:v„ u ) /"( a ) dix 



l/(x) = r(j7)4-y/^/(x) . 



Toutefois, cette conclusion suppose que les séries des dérivées des termes 

 de (1^ et y par rapport à ^ et à a: sont uniformément convergentes, quel que 

 soit T. J'établis qu'il en est ainsi en montrant que la série dont le terme 



(') M. Picard, Traité d'Analyse, l. II, 3" édition, p. igo. 



