SÉANCE DU i" JUILLET 1912. >i I 



ffÇx + t)g{t)'^^ existe au sens de M. Lebesgue, sauf pour des valeurs de x 



formant un ensemble de mesure nulle^ et représente une fonction sommable de x. 



Désignons par F(.r) l'inlégrale indéfinie / f{x) dx. On sait alors que la 



a 



fonction de x 



;A) AF(.r +i) — F(c, + /)],:{/)>/t^pitf f(l^\-u),L;{t 



)dti 



existe et a une valeur finie en tout point x. 



Il suffit de supposer /(.r) et g{x) positives. Écrivons /(/, ", M) pour la 

 fonction ayant la même valeur que /(/ + ?/)^(<) en tout point où cette 

 valeur < M, et ailleurs = M. Nous aurons 



(B) Jdtj f(t + u)i;{t)(lu 



— fdt lim f /•(;, II, M ) du = lim fdt f /(t, 11, M ) du 



J M = « J„ ' M = « J J„ 



-lim f du ff(l. ii.M)dt=^ f diilim ff{l, u.W) dt. 



M = « J„ . ' ■ . '„ M = . J 



Or Uni f f{t, u, M)dt peut avoir la valeur + oc, mais, en conséquence 



de l'égalité (B), cela n'a lieu que dans les points d'un ensemble de mesure 

 nulle. Partout où elle est finie, la limite est l'intégrale de f{t + ")o(0' ^^ 

 qui démontre la proposition. 



3. D'après (A) et (B), 



^ f[F{a- + t)-V{a + l)]^:^(nàt =Jf{x + t) S'il) dt, 



sauf aux points d'un ensemble de mesure nulle. (_)r 



- / F(u- + t) g-(/)dl=iC-\ — «uAoJ" + V «-'(rt„cos7ix H- 6„ sin/(x)B„ 



-|-\^ «-'(«„ sin/ia- — l/„cosnx)A„. 



Le second membre étant la série de Fourier d'une intégrale, on aura en 



