32 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



dérivant 



fit 

 /(<-t-x).-(nf//^-«„Ao 



n=l 1=1 



4. Partons maintenant de l'extension de rinégalilé de Scliwarz, 



fv\(lx<( fv'-^''d.r\-^''( f\'"i'(/j-j (o<U,o<V), 



et posons d'une part 



nous aurons 



(i) ( fiivf/.A *''-(( ii'^'' l'f'-'") ( / ^'^-^ 



Posons d'autre part 



U = «(''"+''1', V = i''+/' (o</)(7<i), 



et nous aurons 



(2) (^ f ind.A ^'' = ( r (•'-/"/ «'wv/jj ^ A-' + v ^/.rV. 



Appliquons l'inégalité (i) à la première intégrale du second membre 

 de (2), remplaçant par ^'^^ en (i) l'exposant (i +p), et nous aurons 



( f i'^-'"l ii'+'' d.A '' S I i'^-^'' ii^-^i' i/.r( 1 11^+'' (/.A 



D'après (2), donc 



ii+;'iii + '/i 711+p) pi\ + 'n 



(D) ( fiiyr/.A ""'"'' <( Ç.'^^l „'^i',l.i\( fià^i'dxY ''' f fr'^'idxj 



."). 5/ I /(/)]"'' et \g(t)\'-^'^ son/ sommahles el _ ^^"^'^ = 2 



(o <y> < 1 , < y < i), /a 5me ^ (//;^ A;, H- />;) 15;; ) «.v/ convergenle. 



Il suffira évidemment do supposer les fonctions /(«) et g{t) positives et 

 paires, ce qui revient à poser h^-= B„= o. 



