SÉANCE UU 8 JUILLET H)12.. 127 



Etant donnée une série double 



nous posons 



2j "'•>' 



A" -i- m — l — I \ / /.' -t- /' — ./' — 1 \ 





Alors, si la limite 



(û) lin. ^-j-^ 



m .n 



A 



m , n 



existe, nous disons que la série (1) est sommable (/>X) et que sa valeur est 

 la valeur de la limite (3). 



Pour les facteurs de convergence dans les séries doubles, nous avons hi 

 théorème suivant, qui est une généralisation d'un théorème de M. .l.-B. 

 Bromwich pour les facteurs de convergence dans les séries simples. 



(4) 



riiiiORKME. — 5j la série (\ ) est sommable {bk) à la valeur S et si, de plus, 



Ci/O 





< K («i, « = 1 , 2, 3, . . . ), 



K étant une constante positive, la série 



(^>) 'y "™,«//n.„(a> |3) 



nt — { , n = [ 



convergera pour toute valeur de a, ^ >■ o, et sa valeur F (a, P) sera continue 

 pour ces mêmes valeurs et tendra vers S, quand a e/ 3 tendent vers -h o, pourvu 

 que les facteurs de convergence 



(6) /,„,„(a. ,3) (m," =:i.2, 3, .. .) 



satisfassent aux conditions suivantes : 



(a) y„, „ (a, j3) est continue pour 5(, ^ > o et liin f(ci,^)^ 



(b) V ,/.//. I a;;; I /,,, ( a, ? ) |< /. {y-,^>o) 



/=U.,.;=V, 



