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et 



(c) lim m'' y./''|/„,,,(«, (3)| = o (a. (3>o). 





{d) lim «'■■ _2 '■'' I /,,„. ( a, (3 ) I i:^ o f «, p > o), 



' = IJ,. 



(e)_ lim [m''/i''7„,,.(a, P)] = o (ac, fi>o). 



où b est une constante positive, [j.,, [J^j, v,, v^, ^o/ï/ quatre entiers positifs 

 quelconques, et enfin [).,„, v,„, u„, v„ sont quatre entiers positifs qui larienl, les 

 deux premiers ai'cc m, les deux derniers (H'cc n, d'une faço/i quelconque. 



Le symbole A^^j y, ^ (a, [i) sert pour représenter l'expression suivante : 



Pour la soniniahilité (b i) de la série double de Fourier, nous avons les 

 résultais suivants, qui sont des généralisations des résultats trouvés par 

 M. L. Féjer pour la série simple de Fourier. 



Si la fonction /"(a;, y) est bornée et intégrable (au sens de Lebesgue) 

 dans la région ( — -'Sx'^t., — -'Sy'S-), le développement de la fonction 

 dans une série double de Fourier sera sommable (b i ) kf (x,y) en chaque 

 point de continuité de /(x,y), et sera uniformément sommable à/' (a:, j) 

 dans chaque région intérieure à une région de continuité dey(.r, y) ('). 

 En un point de discontinuité qui se trouve sur une ligne de discontinuité 

 telle que la fonction tende vers une valeur définie, quand nous nous ap- 

 prochons du point d'un côté ou de l'autre de la ligne de discontinuité, la 

 série sera sommable à une valeur qui est la demi-somme des deux valeurs 

 limites, pourvu que la ligne de discontinuité soit une droite. Si la ligne est 

 une courbe ayant une tangente au point de discontinuité, la série sera 

 restrictivemerit sommable à la même valeur, c'est-à-dire que la limite (3) 

 existera et auia cette valeur, pourvu que /n cl n s'agrandissent en satisfai- 



(') Dans la Table des iiialières d'un ailicle, ilcuit la première Partie a paiii derniè- 

 remetil dans les Proceedings of tlie Loitdon matlieinalical Society (a" série, t. II, 

 2" partie, p. i3o), M. W.-II. Young a indiqué (|iril a établi la sonimabililé de la série à 

 un point de continuité de la fonction développée. Le Mémoire, dont je communique 

 ici les résultats, a été fini et envoyé à l'éditeur dans le mois de janvier 1912. 



