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2. Appliquons maintenant nos résultats à Féqualion fonctionnelle, que 

 nous avons appelée équation généralisée d' Ahel, 



/ H{x.t)l\l.r)dt^j:'^g{x), 



OU l)ien, comme on peut Técrire sans diminuer la généralité, 



(2) / ^{.V,l)J{tx)dl^x'^g{x), 



où Ton suppose encore que | a | <^ i et que g{^x) et N(a;, /) aient des déve- 

 loppements asympto tiques suivant les puissances de a;, et en outre que les 

 fonctions 



existent; il s'ensuit d'ailleurs qu'elles ont des développements asympto- 

 tiques. En multipliant (2) par x, et en diiïérenliant ensuite par rapport à -v, 

 nous obtenons 



N(,7', ^)f{.,.■) + ^{x,lJ.)f(lJ.x)+ i \x^,{x,l)~l^,{x,C)-\J\lx)dl 



,'• 



— x<^[{\ -hx)g(x) — xg^{x)].. 



C'est bien une équation du type (i). Les cas singuliers que nous avons 

 signalés auront lieu, (a) lorsque 



/t étant un entier quelconque (solution logarithmique), el (/>) lorsque 



N(o, i) 4-fx"+«N(o, /jl) =0. 

 3. L'équation 



(3) f N{x,t)filx)</l=o 



peut être ramenée à l'équation homogène 



N(.r, .)/(•'■) ^- N(.'-. /^)/(M'-) + r i:.rN,(,r,/)-/N,(,,-,/)]/(/.r)r//. 



Elle aura des solutions [que l'on peut évidemment ajouter à la solution 



