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Cette équation a une solution en série des puissances de p, dont le rayon 

 de convergence grandit indéfiniment avec n. ?sous voyons donc que l'équa- 

 tion (/() a une solution 



où V (a-, y., p) est une série entière des puissances de p, et 



H(a, p)=:(i- Ç^ c\'C>(i—-^\ e«.'P' . . . f ,— i-\ e9„(p) ... 



les étant des polynômes en p ; ces facteurs exponentiels peuvent être néces- 

 saires pour la convergence du produit infini. 



On trouve aussi, en suivant les méthodes des Notes précédentes, les 

 solutions de l'équation homogène et les solutions logarithmiques de (4) 

 quand p = c„. Le cas où i -»- c u.""^" = o n'est pas singulier pour cotte 

 équation. 



ANAI.YSE MATHÉMAi'lQUE. — Sur la liinitulion du de^^ré des coejjicienls des 

 équalions différentielles ah^éhriques à points critiques fires. iXole de 

 M. .Ieax Ciiazv, présentée par M. Appell. 



Thkohkmiî A. — Soit l'équation différentielle 



, . y" I + £()•) 



où p désigne un nombre entier plus grand que i, et z(y) une fonction liolo- 

 morplie et tendant rers zéro quand la variable y tend vers le point y =^ o dans 

 un angle ayant son sommet en ce point : l'intégrale générale y(x) a des points 

 critiques logarithmiques. Ce théorème a été démontré par M. Painlevé dans 

 le cas où la foudion i(y) est holomorphe au point )-;r^o; je l'ai ('nonce 

 précédemment ( ' ) dans le cas où la fonction t(y) admet dans l'angle consi- 

 déré un développement asymptotitpic suivant les puissances crois- 

 santes dey. 



Désignons par !']„ une équation de la forme 



/"'>=1'(J"'-"J"'-^ ...,y.y,.v), 

 (') Comptes rendus. i8 mars 1912. 



