SÉANCE DU 8 JUILLET 1912. l33 



OÙ P désigne un polynôme en y'"~'\ y^"~'\ ■ • •) y'i Y '^ coefficients analy- 

 tiques en X, et qui a ses points critiques fixes. L'application des résultats 

 classiques, de la méthode introduite par M. Painlevé, du théorème A et des 

 résultats que j'ai énoncés dans une Communication précédente (') et rela- 

 tifs à l'allure des intégrales des équations différentielles d'ordre quelconque 

 qui généralisent une équation du premier ordre, considérée par M. Bcn- 

 dixson, permet de montrer que dans l'écjuation E„ le degré du polynôme P 

 par rapport à chacune des variables y'""'', y'"~^', ..., y', j' est limité de la 

 façon suivante : Si l'on considère chaque dérivée et la fonction y comme de 

 poids égal à l'indice de dérivation, augmenté d'une unité, le poids de 

 chaque terme du polynôme P ne peut surpasser le poids dey'"', « + i. 



On sait depuis longtemps que, dans l'équation E,, le second membre est 

 un polynôme du second degré en y, l'équation E, est une équation de 

 Riccati, et que dans l'équation E„ le polynôme P est du second degré en 

 y ''. M. Painlevé a constitué une méthode pour former des conditions 

 nécessaires pour qu'une équation donnée ait ses points critiques fixes, et, 

 par cette méthode, a obtenu entre autres les résultats suivants : d'une fa(.'on 

 générale, de la limitation du degré en y de l'équation E„, on déduit une 

 limitation, qui peut être trop large, du degré en y'"'' de l'équation E,„+„ ; 

 ainsi dans l'équation 1^,, pour «> i, le polynôme P est du premier degré 

 eny'" ", mais non du second; encore, dans l'équation E^, 



(2) /'=A(/, a:)/+H(7, x-), 



les degrés des polynômes A et B en y sont au plus i et 3. .le veux insister 

 sur cette dernière circonstance qui ne se présente pas aussi simplement 

 dans les é(|ualions d'ordre supérieur. Si .^o désigne un point ari)itraire, et 

 si l'on substitue dans l'équation (2) une expression de la forme 



(x — x^y 



on voit ([uc pour des valeurs convenables, et rationnelles, de l'exposant r^ 

 on peut établir une compensation entre y' et le ou les termes prépondérants 

 du second membre, pourvu que l'équation ne soit pas linéaire; et le théo- 

 rème de M. Poincaré, relatif à la continuité des intégrales d'un système 

 différentiel en fonction d'un paramètre contenu ou introduit dans ce 

 système, permet d'établir (pie l'équation (2) admet des intégrales infiniment 



voisines des fonctions — correspondantes. Or, si le degré de y 



dépasse 1 dans le {)olynome A ou 3 dans le polynôme B, l'exposant /• est 



(') Comptes tendus, 10 juin 1 c) 



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