l34 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



pluspelil ([uc 1, et par suite les intégrales de i'é(]ualion (2) admettent des 

 points critiques algébriques mobiles. D'ailleuis, pour « > i, il ne suffit pas 

 qu'une équation satisfasse à la limitalioii inditpiée pour (|u'ellc ait ses points 

 critifjues fixes, mais il y a eUectivemenl des écjuatious à points critiques 

 fixes qui satisfont à celte limitation. 



Au contraire, quand on passe aux équations du troisième ordre, on ren- 

 contre des équations, telle (jue l'équation 



(3) j"' = j'«y'_(,„ _^ ,)^,«-.yo^ 



m entier positif, dont les intégrales n'ont ni points critiques algébriques, ni 

 pôles, si grand que soit l'entier m. Mais l'intégrale générale de l'équa- 

 tion (3) n'est pas uniforme et admet des points critiques logaiithn)iques. 

 Pour m = ï, l'équation (3) se réduit à l'équation 



que j'ai considérée dans une Communication précédente ('). Comme 

 l'équation (4), l'équation (3) peut être remplacée par un système formé 

 d'une équation du premier ordre (a) et d'une équation du second ordre (^) 

 de la forme (i) dont le second membre est formé avec l'intégrale générale 

 de l'équation (a). Or l'équation (a) peut être ramenée ;i la forme consi- 

 dérée par M. Bendixson, et admet des intégrales qui donnent au second 

 membre de l'équation (P) la forme requise pour l'application du théorème A. 

 Il y a des équations du (juatrième ordre et d'ordre n analogues à l'équa- 

 tion (3) : telle est l'équation du quatrième ordre 



/"•= (x[y"'f"—(in + i) (2m + i)/'"-- y"] 

 + P [.>'""'. v'y"—('" 4-0 v"'--j"] 

 + 7 [j'"','-" -('"-• )/■'"'-'/'-]• 



dont les intégrales n'ont ni |)oinls critiques algébriques, ni jxMcs, si grand 

 que soit l'entier m, et quelles (pie soient les cousiantes a, [i, y. Comme 

 l'intégrale générale de l'équation ( 3), les intégrales générales de ces équa- 

 tions ont des points critiques logarithmiques mobiles : on le démontre par 

 la même méthode, mais dans ciiaquc cas c'est d'une équation, non plus du 

 premier ordre, mais du second ordre ou d'ordre « — 2 qu'il faut démontrer 

 l'existence rl'intégrales tendant vers zéro dans un angle issu d'un point 

 singulier. 



(') Comptes rendus, 18 mars 1912. 



