SÉANCE DU 8 JUILLET 1912. l35 



Sans avoir à résoudre de difficultés d'analyse nouvelle, on obtient une limi- 

 tation analogue pour les équations K„ où P est non plus un polynôme, mais 

 une fraction rationnelle enj'"-", ■>'""-', ..., r', y, et pour les équations algé- 

 briques en y'"', y'""", ...,.y',.y et de degré donné en j"*, sauf pour les équa- 

 tions qui se ramènent aux équations fucbsiennes et kleinéennes. Les 

 fonctions fuchsienucs et kleinéennes sont uniformes dans leur domaine 

 d'existence, et vérifient tontes une é(pialion difîérentielle algébrique de 

 troisième ordre de la forme 



où a (y) désigne une fonction rationnelle ou algébrique dey : comme l'in- 

 tégrale générale d'une telle équation est de la forme y — /( q^ -+-d )' ^^'^' 

 C, D désignant (jualre constantes arbitraires, on a là une classe d'équations 

 diiïérentielles à points critiques fixes ; or, en un pôle ou en un point cri- 

 tique la fonction a (y) est d'ordre — 2, mais le nombre de ces pôles et 

 points criticpies est illimité. 



THÉORIE DES FONCTIONS. — Sur l' absolue convergence des séries Irigonomé- 

 triques. Noie de M. Ar.vaitd Dexjoy, présentée par M. Appell. 



Considérons une série trigonomélrique ayant pour terme général 

 i/„ = «„cos«0 -I- i„sin«0 = p„cos(nO -f- oc„), (p„ = s^'l + K)- 



Soit E l'ensemble des points où cette série «„ est absolument conver- 

 gente. Examinons à quelle condition E peut contenir un intervalle ap. 

 Posons S„ = I », I -1- I Wo I -t- . . . -I- I "„|. S„ est une fonction continue de 0, 

 croissante avec n et tendant vers une limite finie /(Ô), existant seulement 

 aux points de E, en tous cas dans ap. /(O) étant une fonction limite de 

 fonctions continues possède sura^, d'après un théorème de M. Baire, un 

 ensemble de points de continuité partout dense. Il existe donc un inter- 

 valle a, [i, intérieur à ap et où/est borné et, par suite, sommable. On sait 

 alors que, les intégrales étant prises au sens de M. Lebesgue, 



lim / S„./9= / /(5)^5. 

 C'est dire que la série à termes positifs v„ = / |w„|rfO est convergente. 



