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Mais, la valeur moycDiie fie | cos (n<) -+- a„ ) | dans un inlervalle de longueur 



fixe tendant vers -, pour n infini, v„ est sensililement égal à p,X^i — o'-i)i 



ceci montre que la série p„, et en même temps chacune des séries \a„\ 

 cl\b„\, sont convergentes. Mais alors la série Irigonométrique donnée est 

 partout absolument convergente. 



Supposons maintenant que E, sans contenir un inlervalle, ait cependant 

 une mesure non nulle. Alors, E contient un ensemble parfait e de mesure 

 partout non nulle. En appliquant à e le théorème de M. Caire, on voit que 

 les points de e au voisinage desquels _/(0), considérée seulement sur e, 

 n'est pas bornée, forment un ensemble non dense sur e. Je peux donc 

 trouver une partie de e, soit <?,, où /(O) est bornée, la mesure de l'ensemble 

 parfait e, étant non nulle. On sait (voir ma Note du i3 mars 1910) (|ue 

 l'on peut trouver un intervalle i dont je désigne la longueur par d, et où la 

 mesure de l'ensemble e, surpasse (i — oi.)d, a étant donné arbitrairement. 



Soit e.^ la portion de e, située sur cet intervalle i. Intégrons S„ et /"(O) 

 sur e^, selon le procédé de M. Lebesgue. La première intégrale tend en 

 croissant vers la seconde, ce qui démontre encore la convergence de la série 

 ayant pour terme général l'intégrale de \u„\ sur e,. Mais cette intégrale est 



supérieure a p„( 



i comme on le voit en donnant à \ii„\ la valeur 



majorée p„ aux points de i n'appartenant pas à e^. Si donc a <] -> comme il 



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est toujours loisible de le supposer, les conclusions du premier cas sub- 

 sistent. Donc : 



Si les séries | a„ \ et \ />„ | ne sont pas l'une et l'autre conwrgentes, auquel cas 

 la série u„ a ses termes inférieurs en valeur absolue à ceux d'une série arith- 

 métique convergente, l'ensemble des points, où la série u„ est absolument 

 convergente, est de mesure nulle. 



On voit combien la généralité des résultats est restreinte chaque fois que, 

 dans une démonstration relative aux séries trigonométriques, on limite le 

 reste de la série par la somme des valeurs absolues des termes complémen- 

 taires. 



